冼家炜 盛业青 黎进吉 柳欣怡 潘嘉琪 吕铭
[摘 要] 现如今很多日常生活中的问题都可以转化为数学问题来解决，而数学模型的建立是联系实际问题和数学工具的重要桥梁，它让数学工具得以运用于实际生活问题中。数学建模就是将现实生活中的现象转化为理论模型，然后利用理论研究成果进行后期预测。常微分方程是模拟一些实际问题发展规律的重要数学工具之一。主要讨论了多年来建立常微分方程数学模型的数学模型竞赛问题及其原型，以及常微分方程数学模型在现实生活中的应用，并分析了SIR模型在大学生恋爱模型中的相关应用。
[关 键 词] 常微分方程;数学模型;生活实际
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2021）06-0064-02
早在300多年前，常微分方程理论便被数学家提出来了，一开始是一门自然科学学科，在经过多位科研工作者呕心沥血的研究后，它现在已经发展成为一门理论意义与实践应用并重的学科。目前，常微分方程在许多学科中有着重要的应用。本文列举生活中有关常微分方程建模的一些实例，讨论了常微分方程知识在数学建模中的相关应用[1]。
一、常微分方程模型与全国大学生数学建模大赛
（一）火箭推进力及升空速度（一阶微分方程模型）
数模竞赛题目：
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略（2014年全国大学生数学建模竞赛A题）
在高速飞行条件下，嫦娥三号的关键问题是着陆轨道和控制策略的设计，以保证在月球预定区域的精确软着陆。根据课题要求，建立数学模型，确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小和方向;确定嫦娥三号的着陆轨道和最优控制策略;对设计的着陆轨道和控制策略进行误差分析和灵敏度分析。
分析：在确定嫦娥三号着陆轨道和六个阶段最优控制策略时，实际上是建立燃料消耗、时间和卫星速度之间的动量守恒方程，在列出六个阶段的方程后，经过一系列的运算，再列出等式，便可知这是一个可以建立一阶微分方程模型来进行求解的实际应用问题。最后我们便可以通过求解这个一阶微分方程来得到火箭的最优控制策略。
题目参考原型[2]：
一个简单的火箭模型由发动机和燃料仓组成。燃料燃烧从火箭的末端产生大量的气体，给火箭一个向前的推力。火箭飞行受地球引力、空气阻力、地球自转和公转的影响，使火箭起飞后做曲线运动。为了简化问题，现假设：（i）火箭在喷气推动下做直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。（ii）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u。
（二）红绿灯问题（非齐次二阶微分方程）
数模竞赛题目：
车道被占用对城市通行能力的影响（2013年全国大学生数学建模竞赛A题）
车道被占用的情况复杂多样，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
分析：在交通管理方案的设计中，设置黄灯的持续时间，一般都是由司机的反应时间和车子的制动距离所决定的，我们只要确定正常人看到黄灯并决定踩刹车的反应时间和车辆的刹车距离。再根据牛顿第二定律列出相关方程可知这是一个可以建立非齐次二阶微分方程模型进行求解的实际问题。通过求解该非齐次二阶微分方程方程，便可以计算出黄灯的持续时间。
题目参考原型[2]：
在十字路口的交通管理中，黄灯应该亮一段时间，然后红灯亮。这是为了让那些在十字路口开车的人注意一下，告诉他们红灯就要亮了。如果能停车，应立即刹车，以免闯红灯违反交通规则。请根据实际数据预测黄灯应该亮多久。
二、模型在生活中的相关应用：牛顿冷却的妙用
现实生活中，常常有人或其他生物突然暴毙，虽然这些事情不常见，但却是真实存在的，而牛顿冷却定律就可应用在这类生物尸体死亡时间的鉴定中。现在假设警察发现一具尸体，要确定这具尸体的具体死亡时间，从而通过遇害者的具体死亡时间来精确地利用监控去寻找犯罪嫌疑人，这里便可利用牛顿冷却模型来鉴定遇害者的具体死亡时间。
当受害者遇害身亡后，心脏停止跳动，血液流动停止，受害者的温度从原来的人体正常温度37摄氏度按照牛顿冷却定律开始下降。现在假设周围空气的温度保持在20摄氏度，那么根据牛顿冷却定律，两小时后尸体的温度将会下降到35摄氏度。如果当刑警找到遇害者尸体，对尸体进行温度测量时的温度是30摄氏度，那么再联系发现尸体的时间，刑警就可以得到受害者的死亡时间。
假设对尸体进行温度测量的时间是晚上十点整， 现在我们用H来表示温度，用t来表示时间，H0表示初始温度，那么可以列式为[3]：
于是，我们可以得知遇害者的遇害时间发生在晚上十点尸体发现前的8.4小时，即八个小时二十四分钟。再考虑到一些不可避免的误差，我们便可得出受害者的遇害时间大概是当天下午一点三十分左右。刑警通过调查这个时间段的监控便有可能快速锁定犯罪嫌疑人。
同理，类似于日常生活中食物、汽水冷藏解冻等的最佳温度也可运用牛顿冷却模型来进行求解，这样可以使那些想要喝到冰冻汽水的人，不至于冷藏过久而让汽水结成冰，导致错过饮用冰冻汽水的最佳时间。人们做饭的时候，冷藏的肉类食品在做饭前的什么时间段拿出来解冻是一个难题，而通过运用牛顿冷却模型，人们便可以知道知道冷藏的肉类食品在做饭前的什么时间段拿出来解冻可以使肉类的口感最佳，不至于因为解冻的时间不够而导致肉类食品做出来的时候半生不熟。
三、SIR模型在大学生恋爱模型中的运用——以五邑大学学生为例
由于我们的资料都来自互联网以及书籍，缺乏现场的实际数据，从而导致无法精确地将常微分方程模型运用于实际生活中去，因此为了检验常微分方程模型的准确性，提高常微分方程模型的实际可用性，我们选择五邑大学在校学生为样本数据来检验常微分SIR模型的准确性。
（一）SIR模型简介
SIR模型是一种传播模型，是对信息传播过程的抽象描述，是传染病模型中的经典模型，为传染病动力学的研究做出了奠基性的贡献。SIR模型中将总人口分为以下三类：易感者，其数量用s（t）表示，代表当时未感染该疾病但可能感染该疾病的人数;染病者，其数量用i（t）表示，代表t时刻已感染并具有感染力的病人人数;恢复者，其数量用r（t）表示，代表t时刻从受感染者中清除的人数。如果总人口为N（t），则N（t）=s（t）+i（t）+r（t）[4]。
（二）五邑大学学生恋爱模型的建立
我们在SIR模型的基础上构建大学生恋爱模型，将五邑大学在校学生分为以下三类：单身者（Single），其数量用s（t）来表示，代表t时刻是单身状态但可能恋爱的人数;恋爱者（Lovers），其数量用l（t）来表示，代表t时刻正在恋爱状态的人数;失恋者（Brokenhearted），其数量用b（t）来表示，代表t时刻从恋爱状态回到单身状态的人数。
该恋爱模型基于以下因素：（1）不考虑五邑大学学生人口的休学、退学、死亡等动态因素。即默认五邑大学学生人口始终保持一个常数，就是N（t）≡K。（2）基于大学校园恋爱氛围的特殊性，我们认为恋爱者对单身者必然具有一定的影响力，即单身者会受到恋爱者的影响变得趋向于恋爱。假设在t时刻单位时间内，在一个环境中单身者的数目与恋爱者的数目成正比，设比例系数为β，则β=单身人数/恋爱人数。（3）假设在t时刻，单位时间内失恋者人数与恋爱者数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γl（t），比例系数为γ，则γ=恋爱人数/失恋人数。
由此在SIR模型的基础上，我们归纳类比得到大学生恋爱模型：
而我们所收集的有效问卷显示五邑大学大三年级学生的恋爱者人数占比为41.18%，如图1，这与我们模型得到的数据相吻合，这表明微分方程模型可以应用于现实生活中，而恋爱者人数占比接近一半，这与我们收集到的有效问卷数据中在进入五邑大学前恋爱人数所占比例的20%相比较，可以清晰地了解到恋爱氛围在大学生中更为普遍。
四、结语
本文列举了几种用常微分方程求解实际问题的动态数学模型。虽然常微分方程的推导过程烦琐，但是其结果却相当简明，并可以对生活实际中的问题做出合理解释，从而能够有效解决一些生活实际中的问题。
常微分方程模型在我们的日常生活中有很多实际应用，但是如果要将其应用到日常生活实际中去，关键是要得到一些常微分方程所需的数值。但是很多时候，就是因为我们不能知道某些甚至是某个具体的常微分方程所需的数值，导致我们不能得到最终的结果，即使模型建立了，它也不是一个精确的常微分方程模型，这样，即使确切地得知这个常微分方程模型在日常生活中有着广泛的功能，能够解决很多日常生活中的问题，但由于某个值是不可知的，所以无法在日常生活中实现。
所以在确切得知该常微分方程模型能够在生活实际中有着广泛应用的前提下，如果能够求解得到常微分方程模型所需的全部数据，就可以有效地解决许多日常生活中的实际问题。
参考文献：
[1]郭爽，侯丽英，李秀丽.常微分方程在数学建模中的应用[J].数学教学研究，2009（4）：57-60.
[2]姜启源.数学模型（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2016.
[3]卢里举.试论死亡时间的鉴定[J].中国校外教育，2014（33）：29.
[4]刘珺.SIR模型及其在投资者行为研究中的应用[D].济南：山东大学，2018.
编辑 李 争
①基金项目：五邑大学2019年大学生创新创业训练计划项目（201911349272）;五邑大学2019年度本科教学质量与教学改革工程建设项目（项目编号：JX2019037）。
通讯作者：盛业青（1979—），女，汉族，安徽芜湖人，硕士。
