蒋国庆 李苇
摘要：除去基础知识、基本技能的传授，数学教学最根本的任务应当是教会学生思考，培养学生高层次的思维能力.本文以一道高考数学解析几何题的解题为例，对如何在不断地探究中培养学生的高层次思维能力进行了深入探究.
关键词：解析几何；高层次思维；变式探究
数学是思维的体操，数学核心素养的培养离不开数学思维能力的提升，而数学高层次思维能力又是其中的关键．高层次思维缘起于Bloom提出的认知目标分类，随后Anderson将其修订为记忆、理解、应用、分析、评价和创造，其中分析、评价和创造通常被称作“高层次思维”．数学教学重在运算，教学实践中，不能只教会学生死记方法，生搬硬套，这样思维只会停留在较低层次．而要想培养学生的高层次思维能力，就需要引导学生正确理解运算对象，选择运算方向；分析比较运算思路，优化运算程序；追根溯源推广引申，揭示问题本质，进而达到提升核心素养的目的．下面就以2022年新高考卷的解几题为例，谈谈如何在不断地探究中培养学生的高层次思维能力，落实数学运算核心素养．
题目（2022新高考Ⅰ卷21题）已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．
（1） 求l的斜率；
（2） 若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面积．
1解法探究，运算思路多元化
下面主要以第一小问为研究对象．
解法1设直线AP的方程为y=k（x－2）+1，与双曲线C的方程x22－y2=1联立，消去y得（1－2k2）x2+4k（2k－1）x－8k2+8k－4=0．
因为xA，xp为该方程的两根，
所以xAxp=－8k2+8k－41－2k2，xp=4k2-4k+22k2-1，yp=k（xp－2）+1=2k2－4k+11－2k2．
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以直线AQ的方程为y=－k（x－2）+1，同理可解得xQ=4k2+4k+22k2－1，yQ=2k2+4k+11－2k2，
故yP－yQxP－xQ=2k2－4k+11－2k2－2k2+4k+11－2k24k2－4k+22k2－1－4k2+4k+22k2－1=－1．
评注：本题的问题非常明确，就是计算直线的斜率，而斜率怎幺求解，最直接的方法就是用斜率的坐标公式来计算，问题就转变成如何求解P，Q的坐标．解法1思路清晰，学生容易想到，但运算量较大，对学生的运算的毅力以及字母运算的准确性都有较高的要求，另外还要注意借助直线AP，AQ的方程的同构特点来简化运算．
解法2由题可知直线l的斜率存在，设l：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=kx+m
x22－y2=1
化简得（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0，
所以x1+x2=－4km2k2－1，x1x2=2m2+22k2－1．
因为kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=kx1+m－1x1－2+kx2+m－1x2－2=0，
所以2k（2m2+2）2k2－1+（m－1－2k）－4km2k2－1－4（m－1）=0，
化简得（k+1）（m+2k－1）=0．
当m+2k－1=0时，直线l过点A，不合题意，舍去，所以k=－1．
评注：解法2依然立足于研究点的坐标，将直线l的方程与双曲线方程联立，借助韦达定理设而不求来处理．这是解析几何中的常用的方法，平时的解题教学中训练得比较多，优点是学生容易上手，缺点是运算量稍大，最后对二元二次方程进行因式分解也有一定难度．
解法3设过点A的直线方程为y=k（x－2）+1，直线l的方程为y=k0x+m，
由y=k0x+m
y=k（x－2）+1得xP=m+2k－1k－k0
yP=2kk0－k0+mkk－k0，
代入双曲线方程x22－y2=1整理得，
［4－2（2k0+m）2－2］k2+4［（m－1）+k0（2k0+m）+k0］k+［（m－1）2－4k02］=0．
直线AP，AQ的斜率k1，k2可以看做是该方程的两个根，
所以由k1+k2=0可得（m－1）+k0（2k0+m）+k0=0，
即（k0+1）（2k0+m－1）=0．
因为直线l不过点A，所以2k0+m－1≠0，
所以k0=－1，即直线l的斜率为－1．
评注：设出直线联立方程组是解决本题的基本方法，解法1、2是由直线与双曲线联立方程组来求解的，而解法3将两条直线联立方程组求出点的坐标，然后代入双曲线方程，再利用同构思想将直线AP，AQ的斜率看做二次方程的两个根．解法3体现了对运算对象的深层次的理解，思维水平较解法1、2有了提升.
解法4设P（x1，y1），Q（x2，y2），AP，AQ的斜率为k1，k2，
所以k1+k2=y1－1x1－2+y2－1x2－2=0.
将双曲线方程为x22－y2=1变形为：（x－2+2）22－（y－1+1）2=1（），
且设直线l：m（x－2）+n（y－1）=1.
由（）式整理得（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］=0，
（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］×［m（x－2）+n（y－1）］=0，
（4n+2）（y－1）2（x－2）2+（4m－4n）y－1x－2－（4m+1）=0，
即（4n+2）k2+（4m－4n）k－（4m+1）=0.
而k1，k2是此方程的两根，所以k1+k2=4n－4m4n+2=0，m=n，
所以直线l的斜率为－1．
评注：化齐次的解法在解决直线的斜率和或斜率积的定值问题时，常常有化繁为简的效果．该解法的核心是抓住斜率的表达式的结构特点对代数式进行变形，关键步骤是变齐次式，虽然运算量不大，但技巧性较强，需要一定量的训练学生才能掌握．
解法5设P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P，Q，A都在双曲线C上可得，
x212－y21=1 ①，x222－y22=1 ②，222－12=1 ③
①式减③式变形得，
kPA=y1－1x1－2=x1+22（y1+1），
同理可得kPB=y2－1x2－2=x2+22（y2+1）．
由kPA+kPB=0可得y1－1x1－2=－x2+22（y2+1），
化简得2（y1y2+y1－y2－1）=－（x1x2+2x1－2x2－4）④，
同理由y2－1x2－2=－x1+22（y1+1）化简得，
2（y1y2+y2－y1－1）=－（x1x2+2x2－2x1－4）⑤．
④式减⑤式得y1－y2=x2－x1，
从而kPQ=y1－y2x1－x2=－1，即直线l的斜率为－1．
评注：设线联立与设点构造是解析几何的两种主要方法．设线法往往运算量较大，设点法技巧性强，各有优点．解法5设点作差再进行变形运算，式子对称简洁，运算量小，解决本题有奇效，但需要较高的数学运算素养才能完成．
2变式探究，揭示问题本质
在求出上述问题后，自然会有以下思考．
思考1如果将点A的坐标变一变，直线l的斜率是否还是定值．
变式1已知点A（4，7）在双曲线C：x22－y2=1上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求l的斜率．
思考2如果将试题中的双曲线改为椭圆或者抛物线，直线l的斜率是否还是定值．
变式2已知点A1，22在椭圆C：x22+y2=1上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求l的斜率．
变式3已知点A（1，2）在抛物线y2=4x上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，求l的斜率．
通过变式2和变式3可以发现，将双曲线换成椭圆或抛物线，直线l的斜率还是定值，于是我们有理由将问题推广到更一般的情形．
思考3点A与曲线都一般化后，又有什幺规律呢？
利用解法5设点作差的方法，可以很容易证明（过程略）出以下一般性的命题．
命题1已知点A（x0，y0）（y0≠0）在双曲线C：x2a2－y2b2=1上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，则l的斜率为定值－b2a2x0y0，反之成立．
命题2已知点A（x0，y0）（y0≠0）在椭圆C：x2a2+y2b2=1上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，则l的斜率为定值b2a2x0y0，反之成立．
命题3已知点A（x0，y0）（y0≠0）在抛物线C：y2=2px上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，则l的斜率为定值－py0，反之成立．
如果本题仅仅停留于对各种解法的探讨，虽然对学生的运算能力以及分析、评价等思维能力的培养有一定的作用，但不能变式迁移，推广引申，终将是只见树木不见森林，缺乏对问题的深入思考，不能培养创造性运用的高层次思维能力．
3背景探究，追求问题本源
上述对问题（1）的探究，都是一些常规的思路，我们还需要对命题的背景追根溯源一探究竟．
定理若两条直线与二次曲线C：ax2+by2+cx+dy+e=0（a≠b）有四个交点则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数．
当四个交点退化为三个交点时，即其中有两个点重合时，可以得到以下推论．
推论设点A是圆锥曲线C的定点但不是顶点，E、F是C上的两个动点，直线AE、AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为曲线C过点A的切线斜率的相反数（定值）．
很明显2022新高考Ⅰ卷第21题的第（1）问就是根据上述推论来命题的．事实上，在2009年的辽宁高考卷理科第20题就已经考过这种问题，其他诸如2005年的江西卷文科第21题，2004年北京卷理科第17题等高考题中都曾考过这个问题．
4结束语
郑毓信教授说过“数学要为学生的思维发展而教”．数学教学的立足点应是培养学生的思维能力，尤其是学生高层次思维的培养．在上述的问题探究中，通过分析运算对象对多种解题方法进行探究，拓宽学生思维广度．对不同方法的优劣进行比较分析，培养学生的批判性思维．围绕一个问题进行变式研究，由确定的点到任意的点，由双曲线到一般圆锥曲线，学生“变”出一个个“新问题”，又在问题的求解过程中逐渐地看清题目的本质，最后的本源探究将学生的深度学习推向了顶峰，创造性思维能力在探究的过程中得到培养，数学核心素养的培养也从“双基”层面提升到了“学科思维”层面．
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基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划2018年度课题——培养高中生高层次数学思维能力的实践研究（项目编号：C-b/2018/02/21）．
