赵伟华
摘要：含参三次函数的零点问题，是高考数学与模拟卷中常见的一类基本题型.巧妙将高次函数与函数的零点加以交汇，融合导数及其应用，交汇函数与方程、数形结合、分类讨论以及化归与转化思想方法，是数学基础知识、数学思想方法与数学能力协同作用的重要场所．本文结合实例在多选题背景下加以应用，引领并指导解题研究．
关键词：三次函数；导数；参数；分类讨论；特殊值
利用导数法来分析与解决相关函数的零点个数、结合零点个数来确定参数的值或取值范围等问题，一直是高考数学中比较常见的一类热点题型，难度一般也较大．具体解决问题时，方法技巧多样，但往往都离不开对参数的化归与转化，以及参数之间的分类讨论，甚至与函数单调性、极值与最值的综合应用等．
1问题呈现
问题（2022届广东省惠州市高三（上）第三次调研数学试卷（1月份））（多选题）已知函数f（x）=x3+ax+b，a，b∈R，则下列选项中的条件使得f（x）仅有一个零点的有（）
A． a＜b，f（x）为奇函数
B． a=ln（b2+1）
C． a=－3，b2－4≥0
D． a＜0，b2+a36＞0
本题是含有两个参数的三次函数中有关函数的零点问题．根据题目条件，若参数之间有隐藏的等量关系，则可将二元问题变成一元问题来分析与处理；若参数之间有隐藏的不等关系，则可根据该不等关系，借助判断函数的极值的正负取值情况，从而得以判断函数的零点个数问题．
2问题解决
方法1：（直接条件翻译法）
解析：由题函数f（x）=x3+ax+b，求导有f′（x）=3x2+a，
对于选项A，由函数f（x）是奇函数，知b=0，
因为a＜b=0，所以函数f（x）存在两个极值点，易知函数f（x）有三个零点，故选项A错误；
对于选项B，因为b2+1≥1，所以a≥0，则知f′（x）≥0，
所以函数f（x）单调递增，则函数f（x）仅有一个零点，故选项B正确；
对于选项C，若取b=2，则f（x）的极大值为f（－1）=4，极小值为f（1）=0，此时函数f（x）有两个零点，故选项C错误；
对于选项D，结合a＜0，由f′（x）=3x2+a=0，解得x=±-a3，
则知函数f（x）在－∞，－-a3上单调递增，在－-a3，-a3上单调递减，在-a3，+∞上单调递增，
所以函数f（x）的极大值为f－-a3=b－2a3-a3，极小值为f-a3=b+2a3-a3，
因为a＜0，所以b2+4a327＞b2+a36＞0，所以b2＞－4a327，则b＞－2a3-a3或b＜2a3-a3，
从而f－-a3＜0或f-a3＞0，可知f（x）仅有一个零点，故选项D正确；
所以选择答案：BD．
解后反思：根据题目条件，结合函数的求导处理，通过直接利用各选项中的条件，结合导函数的解析式并利用参数的取值情况加以“翻译”，确定各选项所对应的不同条件下是否使得函数f（x）仅有一个零点，进而得以判断．通过不同条件背景的构建与分析，逐一分析与判断，是解决问题的关键．
方法2：（整体讨论法）
解析：由题函数f（x）=x3+ax+b，求导有f′（x）=3x2+a，
（1） 若a≥0，则有f′（x）≥0，函数f（x）在R上单调递增；
（2） 若a＜0，由f′（x）>0，解得x<－-a3或x>-a3，
则知函数f（x）在－∞，－-a3上单调递增，在－-a3，-a3上单调递减，在-a3，+∞上单调递增，
又当x→－∞时，f（x）→－∞；当x→+∞时，f（x）→+∞.
对于选项A，由函数f（x）是奇函数，知b=0，结合a＜b=0，此时满足情形（2），
因为f（x）极大>0，f（0）=0，f（x）极小<0，则知函数f（x）有三个零点，不合题意，故选项A错误；
对于选项B，因为b2+1≥1，所以a=ln（b2+1）≥0，此时满足情形（1），函数f（x）仅有一个零点，故选项B正确；
对于选项C，若a=－3，b2－4≥0，则有b≤－2或b≥2，此时满足情形（2），
当b=2时，f（x）极大=f－-a3=f（－1）=b+2>0，f（x）极小=f-a3=f（1）=b－2=0，此时函数f（x）有两个零点，
当b>2时，f（x）极大=f－-a3=f（－1）=b+2>0，f（x）极小=f-a3=f（1）=b－2>0，此时函数f（x）有两个零点，
同理，当b=－2时，函数f（x）有两个零点；当b<－2时，函数f（x）有一个零点，
综上分析，故选项C错误；
对于选项D，若a＜0，b2+a36＞0，此时满足情形（2），有f（x）极大=f－-a3，f（x）极小=f-a3，
而f（x）极小·f（x）极大=b2－-a33+a·-a32=b2+4a327> b2+a36>0，则函数f（x）仅有一个零点，故选项D正确；
所以选择答案：BD．
解后反思：根据题目条件，结合函数的求导处理，利用导函数的结构特征对参数a进行分类讨论，剖析在不同情形下函数的单调性，进而通过各选项中条件，分归不同的参数取值情形，逐一加以分析与判断．整体把握，分类讨论，是解决此类含参高次函数问题中比较常见的思维方式，但过程比较繁杂．
方法3：（特殊值法）
解析：对于选项A，由函数f（x）是奇函数，知b=0，结合a＜b=0，取a=－1，
此时函数f（x）=x3－x=x（x+1）（x－1），其有三个零点0，－1，1，故选项A错误；
对于选项C，结合a=－3，b2－4≥0，取b=2，
此时函数f（x）=x3－3x+2=（x+2）（x－1）2，结合函数的结构特征知该函数有两个零点－2和1，故选项C错误；
综合多选题的基本特点：至少有两项是正确的，必有选项BD正确，
故选择答案：BD．
解后反思：根据题目条件，并利用多选题的基本特点，多选题中至少有两项是正确的，只要能够明确判断其中两个选项是错误的，那幺剩下的两个选项必须都是正确的，从而得以“秒杀”处理，简单快捷．
3教学启示
3.1导数工具切入，零点问题突破
利用导数法来解决三次函数中的零点问题时，常见的技巧方法主要包括以下几种：利用三次函数合理求导处理，结合分类讨论以及相关的基本性质等，结合函数的单调性、极值与最值等基本性质来分析与处理；巧妙转化函数关系式，合理构建新函数，特别是一些含有分式、根式等相关问题时，常采用构建新函数再进行求导分析与处理；通过分离参数法加以巧妙转化与应用等．
3.2高考多选题，特征巧把握
新高考中多选题的引入与设置，给数学试卷带来了创新的亮点，结合多选题的自身特点（至少有两选项是正确的）以及得分规律，充分把握一些基本的解题技巧，结合考生自身的情况，可以在确定得分的前提下，合理把握解题技巧与得分策略．
