吕爱生
数学透视眼/数学百科
CHU ZHONG SHENG SHI JIE
三角函数发展史拾趣
吕爱生
三角函数在中学教学中具有十分重要的地位，对于提高数学素养与培养数学思维能力也起着重要的作用.作为数学史的一部分，三角函数极大地促进了数学的应用与发展.同学们，让我们一起来感受其产生与发展的历史，体会其迷人的价值吧.
一、三角学与天文学
三角学的英文名称是trigonometry，大约定名于公元1600年，实际源于希腊的三角和测量，其原义为三角形测量（解法），是以研究平面三角形和球面三角形的边角关系为基础，达到测量上应用为目的的一门学科.
早期的三角学与天文学是密不可分的.由于航海、迁移、历法推算以及天文观察等需要，人们最初以太阳和星星为观测参考物来确定目标的远近以及时间的长短，自然地为这种观测服务产生一些原始的三角测量.因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己历史第一步的.
西方的三角学始创于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，但主要用于测量.公元前2世纪后，希腊天文学家希帕霍斯为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的弦表，成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了“三角学之父”的称谓.
公元2世纪，希腊天文学家、数学家托勒密继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，写成《天文学大成》13卷，其中包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作.在同时代的梅内劳斯写了一本专论球面三角学的著作《球面学》，其中包含球面三角形的基本概念和球面三角形许多独特性质.他的工作使希腊三角学达到全盛时期.
后来，阿拉伯数学家开始对三角学进行专门的整理和研究，他们的工作具有使三角学从天文学中独立出来的杰出表现，但是真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统论述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯.1464年，他发表了《论各种三角形》，在这本书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，使三角学成为数学上的一个分支.
二、三角函数发展史与三角学
三角学虽曾是天文学的一部分，但由于研究范围的逐渐扩大，才逐渐变成以三角函数为主要对象的学科.现在，三角学的研究范围不仅限于三角形，已成为数理分析之基础，是研究实用科学所必需的工具.
然而，直到18世纪，三角函数量：正弦、余弦、正切等等都始终被认为是已知圆与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌.
三角学的现代特征是把三角量看作函数，即看作是一种与角相对应的函数值.1748年，欧拉发表了著名的《无穷小分析引论》一书，指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值.”（注：这一说法与现行教科书定义似乎不同，究其原因是背景不同，但其实质是相通的）
欧拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态研究三角形解法中解放出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科.正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量都可以脱离几何图形进入运算，一些三角关系式也容易从三角函数定义得出.这就使得许多数学家所得出的三角关系式都有了坚实的理论依据.
三、我国“正弦”一词的由来
我国古代没有出现角的函数概念，只是在《九章算术》中《勾股》章的最后，提出了测量城池、山高和井深的问题，这种测量方法称为“重差术”.三国时代数学家刘徽为了解释“重差术”，便撰写《重差》一卷，附在《九章算术》中《勾股》章之后，到了唐初，这一部分才被人从《九章算术》中抽出来，成为一部独立的著作.
明朝崇祯4年（1631年），三角学传入我国，德国传教士邓玉函、汤若望和明代著名科学家、政治家、农学家徐光启合编《大测》，其作为历书的一部分呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学.同年，徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述.1653年，薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以“三角”取代“大测”，确立了“三角”名称.1877年，华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨.
在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了我国正弦一词的由来.
四、一些常用的三角函数与三角函数表
除了正弦函数外，余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数也是常用的三角函数.在九年级，同学们学习的三角函数有正切函数、正弦函数、余弦函数.
在《论各种三角形》中，雷基奥蒙坦纳斯正式提出sine（正弦）一词.而cosine（余弦）则为英国人根日尔首先使用，最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现.
1626年，阿贝尔特·格洛德最早推出的正弦与正切的简写三角符号分别为：“sin”与“tan”.1675年，英国人奥屈特最早推出余弦的简写三角符号：“cos”.但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，并被定格为现在的形式.
所谓三角函数表，就是把不同角度和它对应的三角函数值放在一起，制作成表，以便随时查阅.显然，三角函数表的出现是自然的，因为对一个函数来说，任意一个自变量都有唯一一个值与之对应.
著名的叙利亚天文学家、数学家阿尔·巴坦尼于公元920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切函数表.
公元727年，僧人一行受唐朝皇帝唐玄宗之命撰写《大衍历》.为了求得全国任何地方一年中各节气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，太阳天顶距和日影长度比的关系即为正切函数.而巴坦尼编制的是余切函数表，是日影长度和太阳天顶距比值列表.两人的发现本质上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年.
（作者单位：江苏省建湖县城南实验初中教育集团近湖校区）
