姜红
“二元一次方程组”中考试题研究
姜红
像2x-y=5这样，含有两个未知数，并且未知项的次数都为1次，那么这样的整式方程就叫作二元一次方程.二元一次方程有无数组解，若添加条件限定（例如求正整数解），亦可有有限个解，甚至无解.
一、二元一次方程组的解法
【点评】多元方程的解法原则是“消元”.而“消元”的具体方法有代入法和加减法两种.
有时，试题也会涉及“整体代换”等思想方法，比如：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即
2（2x+5y）+y=5③，
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=-1.
把y=-1代入①得x=4.
请你解决以下问题：
【解析】第（1）题模仿小军的“整体代换”法，把方程②变形为：
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代换”方法，是解本题的关键.
二、二元一次方程组的应用
例4（2015·北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何？”
译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为__________.
【点评】这类问题中两个量呈一次关系，往往可以抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系.
例5（2015·佛山）某景点的门票价格如表：
购票人数/人 1～50 51～100 100以上每人门票价/元 12 10 8
某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元.
（1）两个班各有多少名学生？
（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？
（2）用一张票节省的费用乘该班人数即可求解.（2）七年级（1）班节省的费用为：（12-8）×49=196（元），七年级（2）班节省的费用为：（10-8）×53=106（元）.
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用、二元一次方程组的解法的运用，解答时建立方程组求出各班的人数是关键.
三、与二元一次方程组有关的综合题
例6（2014·益阳）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售数量销售时段 销售收入A种型号 B种型号第一周 3台 5台 1800元第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据金额不多于5400元，列不等式得：200a+170（30-a）≤5400，解得：a≤10.所以超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元.
（3）设利润为1400元，列方程（250-200）·a+（210-170）（30-a）=1400，解得：a=20.
若不符合（2）的条件，可知不能实现目标.∵a≤10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标.
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解.这类试题把二元一次方程组与一次不等式结合起来考查，难度有所加大.
（作者单位：江苏省南京师范大学附属中学江宁分校）
