稳扎稳打踩点解答

钟珍玖

稳扎稳打踩点解答

钟珍玖

图形的平移、翻折、旋转是初中阶段最为常见的三种图形的变换，是数学中考的重点内容和必考内容之一.这类问题的特点是图形复杂多变，涉及的知识点多，难度较大，但也有一定的解题方法和技巧.抓住问题的本质，踩点解答，则可化难为易.

例1（2015·宁夏）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为.

图1

【考点】图形平移的性质，一次函数图像与性质.

【解答】由平移的性质可知，OA=O′A′，所以O′A′=4，点A′是直线x上一点，y=4时，x=5，所以AA′=BB′=5.

【评析】对于图形的平移要抓住平移的特征：对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等，平移前后的图形全等.

例2（2015·常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图2所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）.

图2

【考点】等腰三角形的判定，垂线段最短，轴对称图形性质.

【解答】把折叠的纸片还原（如图3），由轴对称的性质“成轴对称的两个图形全等”，可得∠1=∠2，易得∠1=∠ABC，所以∠ABC=∠2，AB= AC.又AB边上的高是定值（纸片的宽），要使三角形的面积最小，只需线段AB最短，也就是线段AC最短，此时AC⊥AB，AC=AB=4，三角形的面积为8，选B.

图3

【评析】图形的折叠的特征就是折叠的两部分全等，利用对应边、对应角相等来解决问题.

例3如图4，圆柱形容器，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁距容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，在离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m.（容器厚度忽略不计）

图4

图5

【考点】勾股定理，圆柱的侧面展开.

【解答】因为壁虎与蚊子在相对的位置，则壁虎在圆柱侧面展开图矩形两边中点的连线上，如图5所示，要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EF上找一点P，使PA+PB最短，过A作EF的对称点A′，连接A′B，则A′B与EF的交点就是所求的点P，过B作BM⊥AA′于点M，在Rt△A′MB中，A′M=1.2，BM=0.5.

所以壁虎捉蚊子的最短距离为1.3m.

【评析】先运用化立体为平面的思想，把问题转化为平面问题，然后利用轴对称的性质把直线同侧的两点A、B转化到直线EF的两侧，利用三点共线时线段和最短来求PA+PB的最小值.

例4如图6，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，如果点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，求DE的长.

图6

【考点】矩形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理.

【解答】过D′作D′F⊥AB交AB于F，延长FD′交CD于G.

如图6（1），由翻折得△EDA≌△ED′A，

则ED=ED′，AD=AD′=5，

设AF=x，则BF=7-x，在Rt△BD′F中，因为D′B是∠ABC的平分线，所以∠ABD′=45°，则D′F=BF=7-x，

在Rt△AD′F中，AD′2=AF2+D′F2，即52=（7-x）2+x2，解得x=4或x=3，即D′F=BF=3或4.

当x=4时，如图6（1），设DE=y，在Rt△D′GE中，EG=4-y，ED′=y，GD′=2，即（4-y）2+22=y2，解得

当x=3时，如图6（2），设DE=y，在Rt△D′GE中，EG=3-y，ED′=y，GD′=1，

图6 （1）

图6 （2）

即（3-y）2+12=y2，解得

【评析】翻折后图形常常比较复杂，要善于在复杂的图形中找到基本图形，运用勾股定理和三角形相似是求线段长度的基本方法.

例5在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E、F分别为OA、OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α.

图7 （1）

图7 （2）

图7 （3）

（1）如图7（1），当α=90°时，求AE′、BF′的长；

（2）如图7（2），当α=135°时，求证：AE′= BF′，且AE′⊥BF′；

（3）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值.（直接写出结果即可）

【考点】正方形的性质，旋转性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，解直角三角形.

【解答】（1）当α=90°时，点E′与点F重合.

∵点E、F分别为OA、OB的中点，

∴OE=OF=1.

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，

∴OE′=OE=1，OF′=OF=1.

在Rt△AE′O中，

在Rt△BOF′中，

∴AE′、BF′的长都等于5.

本题共10分，其中第（1）题3分，由中点定义写出OE=OF=1得1分，用两次勾股定理求出AE′、BF′的长都等于5再得2分.

（2）∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，

∴∠AOE′=∠BOF′=135°.

在△AOE′和△BOF′中，

∴△AOE′≌△BOF′.

∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′.

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴∠CPB=∠AOC=90°，

∴AE′⊥BF′.

第（2）题共4分，利用全等三角形的判定得出△AOE′≌△BOF′得2分，由全等三角形性质得出AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′再得1分，得出AE′⊥BF′可得1分.

（3）在第一象限内，当点D′与点P重合时，点P的纵坐标最大.

过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图7（3）所示.

∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，

∴∠E′AO=30°，AE′=3，

∴AP=3+1.

∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，

写出点P纵坐标的最大值可直接得3分，不需要写出解答过程.

【评析】图形的旋转是一个动态的问题，需要动手画图探究运动过程.第（2）小题是一个推理问题，每个步骤都应该有依据，涉及定理运用的部分要把符号语言书写规范.

对于图形变化类问题要充分运用平移、翻折、旋转的特征，踩准关键点，找到解题的突破口，在解答时凡是涉及法则、定义、定理时，都要规范书写，避免不必要的失分.

（作者单位：江苏省江阴市第一初级中学）