贲道波
“图形的变化”是初中数学的核心知识，也是中考的重要内容，主要包括图形的平移、翻折、旋转、相似和投影.现以一道课本习题为出发点，谈谈它的变式，希望对大家的学习有所启发.
【原题】（苏科版《数学》九下第90页第11题）如图1，△ABC和△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别交AD、AE于点F、G.图中有哪几对相似三角形（不包括全等）？把它们表示出来，并说明理由.
图1
【解析】由∠B=∠FAG=∠C=45°，∠BGA=∠AGF，∠AFG=∠CFA，可证得△AGF∽△BGA∽△CAF.
一、对原题的分析
【编写意图】本题用两个等腰直角三角形进行组合，复习巩固三角形相似判定方法——“两组角分别相等的两个三角形相似”（本文以下简称“两角法”）.
【图形分解】本题从图1中可分解出图2、图3两组三角形相似的基本图形——“共角共边型”.
图2
结论延伸：①在图2中，由“共边型”相似：△GAF∽△GBA，易得GA2=GF·GB，反之亦成立.
图3
②如图4，若把图2中的AF平移并缩小至A′F′，可得“共角型”相似：△GA′F′∽△GAF∽△GBA.
图4
二、对原题的变式
【变式一】由特殊到一般.
如图5，若∠B=∠C=∠FAG，例题中的结论还成立吗？为什么？
图5
【解析】由“两角法”，仍然可判定△BGA∽△AGF∽△CAF.
【点评】注意“特殊”和“一般”的关系，一般条件下成立的结论，在特殊条件下仍然成立，反之则不一定.
【变式二】增加旋转变化.
如图6，把原题中的△DEA绕点A旋转，使AD、AE分别交边BC及其延长线于点F、G（点F、G与点B、C不重合），例题中的结论还成立吗？为什么？
图6
【解析】本题在旋转后，对应角相等的关系没有变，所以例题的结论仍然成立.
【点评】本题和原题一样，仍然可以把图形分解成“共角共边型”相似模型，所以结论仍然成立.其实，如果把△DEA绕点A顺时针或逆时针旋转，边AD、AE或其延长线与边BC所在的直线只要相交于点F、G（不与点B、C重合），则例题的结论始终成立.
【变式三】改变图形的位置.
如图7，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，点E是斜边BC上一动点，△DEF的两边分别和△ABC的两直角边交于G、H两点.
图7
（1）试判断△BGE和△CEH是否相似？为什么？
（2）连接GH，当点E运动到BC边什么位置时，△EGH和△BGE相似？并说明理由.
【解析】（1）由“两角法”易证△BGE∽△CEH.
（2）当点E运动到BC边的中点时，△EGH∽△BGE.由△BGE∽△CEH可得又CE=BE，所以又∠B=∠GEH=45°，所以△EGH∽△BGE.
【点评】本题通过改变等腰直角三角形的位置，构造新图形，提出新问题.第（1）题仍然用“两角法”判定两个三角形相似，和例题一样，其实只要有∠B=∠GEH=∠C，结论就成立.第（2）题当点E运动到特殊位置（BC边中点）时成立，由第（1）题的相似得对应边成比例，再进行“等线段代换”，从而用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定出结论.
三、对原题及变式的反思
“等腰直角三角形”是一种特殊的三角形，有其“特殊性”，如：三个内角之比是1∶1∶2，三边之比是1∶1∶ 2，斜边上的高把原三角形分成两个全等的等腰直角三角形等，在解题时要学会充分运用这些特殊的性质.
用两个等腰直角三角形可以构造出很多图形，原题把一个三角形的直角顶点和另一个三角形的锐角顶点重合，从而构造出“共角共边型”相似三角形.变式一抓住“三个角相等”的本质，从“特殊”推广到“一般”，使其“一般化”.变式二仍然抓住“三个角相等”的本质，增加旋转变化，从“边边相交”推广到“边边所在直线相交”，将其“一般化”处理.变式三改变两个三角形的组合方式，尽管图形的位置发生了变化，但角的大小没有变，仍然可以由“基本条件——两角相等”得到“基本结论——相似”.变式的目的是在图形发生变化的情况下寻求不变的方法.同学们在遇到此类问题时，只要善于抓住“基本模型”，灵活运用“基本方法”，问题就能迎刃而解.
