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“整式乘法与因式分解”这一章，我们从计算图形的面积入手，得到了单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则和完全平方公式、平方差公式，并通过推演证实了这些法则和公式的正确性。学习本章时，同学们对一个数学表达式不仅要会正向看，还要学会反向看，弄清整式乘法与因式分解是两种互逆的变形，弄清楚各自的功能，以避免两者混淆。本章内容不但对后续的方程和函数的学习有重要的意义，而且在各地中考中也频繁出现。下面让我们一起来欣赏一组中考题。

考点1：分解因式

例1 （1）（2018·连云港）分解因式：16-x2=_______。

（2）（2018·淄博）分解因式：2x3-6x2+4x=_____。

【分析】第（1）题16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可。第（2）题首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案。

【解答】（1）16-x2=（4+x）（4-x）。

（2）2x3-6x2+4x=2x（x-1）（x-2）。

【点评】本题第（1）小题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键。第（2）小题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键。

考点2：因式分解的应用

例2 （2016·滨州）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），则a、b的值分别是（ ）。

A.a=2，b=3 B.a=-2，b=-3

C.a=-2，b=3 D.a=2，b=-3

【分析】运用多项式乘多项式的法则求出（x+1）（x-3）的值，对比系数可以得到 a、b的值。

【解答】∵（x+1）（x-3）=x·x-x·3+1·x-1×3=x2-3x+x-3=x2-2x-3，∴x2+ax+b=x2-2x-3。∴a=-2、b=-3。故选B。

【点评】本题考查了多项式的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则。

考点3：因式分解、求代数式的值

例3 （2018·成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为________。

【分析】原式因式分解后，将已知等式代入计算即可求出值。

【解答】∵x+y=0.2，x+3y=1，∴2x+4y=1.2，即x+2y=0.6，则原式=（x+2y）2=0.36。故答案为0.36。

【点评】本题属于条件求值，解题时需要通过因式分解将所求代数式进行转化，转化为与已知条件有关的式子，再通过整体思想代入求值即可。

考点4：整式的乘法、去括号法则

例4 （2018·吉林）某同学化简a（a+2b）-（a+b）（a-b）出现了错误，解答过程如下：

原式=a2+2ab-（a2-b2） （第一步）=a2+2ab-a2-b2（第二步）=2ab-b2（第三步）

（1）该同学解答过程从第_______步开始出错，错误原因是_______；

（2）写出此题正确的解答过程。

【解答】（1）该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；

（2）原式=a2+2ab-（a2-b2）=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2。

【点评】在计算单项式乘多项式时要注意防止漏乘，运用平方差公式时要注意括号内是一个整体，因括号前为“-”，故括号去掉后括号内各项都要变号。

考点5：列代数式、整式的混合运算

例5 （2018·宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示。设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2。当AD-AB=2时，S2-S1的值为（ ）。

图1

图2

A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b

【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差。

【解答】S1=（AB-a）·a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）·a+（AB-b）（AD-a），

S2=AB·（AD-a）+（a-b）（AB-a），

∴S2-S1=AB·（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）·a-（AB-b）（AD-a）=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）=b·AD-ab-b·AB+ab=b（ADAB）=2b。故选B。

【点评】本题解题时能正确表示出S1和S2是关键，矩形的边长虽未具体给定但一定为定值，所以将（AD-a）以及（AB-a）视为公因式提取，使较为复杂的代数式变得简单，从而得出结论。

小试身手

1.分解因式：3a2-6a+3=________。

2.分解因式：（m+1）（m-9）+8m=_______。

3.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）

A.a2-1 B.a2+a

C.a2+a-2D.（a+2）2-2（a+2）+1

4.若a+b=2，ab=-3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为_______。

5.有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米。木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2。

对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2。

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程。

参考答案

1.3（a-1）22.（m+3）（m-3）3.C4.-12

5.方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，