文方智娟
（作者单位：安徽省合肥市北城力高学校）
圆的对称性给人以美的感受，而与圆相关的知识点却比较多，对初学者来说易产生困惑。有关圆的求解问题一般可转化为求角、边（或线段）以及最值问题，下面以几组经典题目帮助同学们有效学习与掌握。
一、求角
例1 如图1，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB中点，则∠DOE= 。
【分析】由切线性质可知OD⊥AB，OE⊥AC，又结合中点得OD为AB的中垂线，再根据题意，可得OA=OB=AB=AC=OC，得到两个等边三角形。
解：连接OA，如图2，
图2
∵AB、AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC。
又点D为AB的中点，
∴OA=OB=AB=AC=OC，
∴△AOB与△AOC都是等边三角形，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=120°，
∴∠DOE=180°-∠BAC=60°。
故答案为60°。
【点评】本题巧妙地将特殊的平行四边形与圆相结合，考查基本图形、基本概念及相关性质。理解切线的性质，厘清垂直平分线、等腰三角形“三线合一”以及等边三角形的知识点是解决问题的基础和关键。
例2 如图3，⊙A过点O（0，0），C（ 3，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD=（ ）。
图3
A.15° B.30° C.45° D.60°
【分析】如果连接CD，根据在同一圆中，同弧所对的圆周角相等，得∠OBD=∠OCD，由DO⊥OC，结合平面直角坐标系和解直角三角形知识得到解决。
解：连接CD，如图4，易得∠OBD=∠OCD。
图4
∵DO⊥OC，OC=3，OD=1，
∴在Rt△COD中，
∴∠OCD=30°，∴∠OBD=30°。
故选：B。
【点评】解题的核心与关键是“转化思想”的运用，一是将∠OBD转化为与它相等的角（图中的∠OCD），二是将∠OBD所在的非直角三角形转化为直角三角形（构造直角三角形）。通过连接CD，有效利用同一圆中同弧所对的圆周角相等、直角所对的弦是直径以及锐角三角函数进行解题。
二、求边或线段
例3 如图5，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，AB=10，CD=8，则BE的长为（ ）。
A.2 B.3 C.4 D.3.5
图5
【分析】连接OC，如图6，根据勾股定理，求出OE。
图6
解：连接OC，
∵AB=10，AB为⊙O的直径，
∴OB=OC=5，
∵AB⊥CD，CD=8，
在Rt△OCE中，
∴BE=OB-OE=2。
故选：A。
【点评】本题是根据垂径定理构造直角三角形。垂径定理、勾股定理等是解决很多问题的有效途径和方法。
例4 如图7，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径作⊙O，交AC于点D，E为⁀CD的中点，连接CE、BE，BE交AC于点F。若AB=3，BC=4，求CE的长。
图7
【分析】可以通过证明∠ABE=∠AFB得AB=AF，接下来通过△BEC∽△CEF，得到BE=2CE，然后再利用勾股定理即可。
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵BC为⊙O直径，∴∠BEC=90°，
∴∠EFC+∠ECF=90°。
又∠EFC=∠AFB，
∴∠AF⁀B+∠ECF=90°。
∵E为CD的中点，
∴∠CBE=∠ECF，
∴∠ABE=∠AFB，∴AB=AF。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=5，由AF=AB=3，
∴CF=AC-AF=2，
∵∠CBE=∠ECF，∠BEC=∠CEF=90°，
∴△BEC∽△CEF，
∴BE=2CE，
又BE2+CE2=BC2，
【点评】本题方法不唯一，还可以通过连接BD来解决，同学们可自己尝试。
三、求最值
例5 如图8，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2，点Q是AC的中点，则点Q到以AB为直径的圆上任意一点的距离中，最大值为_____ ，最小值为_____。
图8
【分析】题目条件将本来已经存在的图“隐”起来了。如果有了图9，不仅看起来直观了，而且解决问题的思路也明了了。
解：如图9，以AB为直径作⊙O，过点O、Q作直径与⊙O交于点P1，P2，
图9
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，
【点评】让“隐圆”显现出来，问题迎刃而解。分析问题，添加辅助线，应朝着有助于解决问题的方向努力。
