文 陈新合
一枚枚邮票包含着一个个典故。邮票与数学有什么不解之缘呢？让我们一起走近邮票里那些形形色色的图形。
如图1，这张邮票上的图形是一个“彭罗斯三角形”，它是现实世界中不能客观存在的图形，也称为不可能图形。不可能图形，又称错觉图片，是指只能在二维世界存在，而无法存在于三维的现实世界中的一种几何图形，常以视觉错位的形式“欺骗”观看者的眼睛，令观看者产生眼见不一定为实的想法。如今，不可能图形已成为视觉艺术的一个子类，在数学、医学、电子游戏等领域均有应用。“彭罗斯三角形”虽然以彭罗斯命名，但它其实最先是由荷兰艺术家埃舍尔设计的。数学家彭罗斯在看到埃舍尔的绘画作品后，产生关于这种图形的灵感，然后与其父亲一同讨论出一篇论文并发表。“彭罗斯三角形”便由此得名。
图1
如图2，这张邮票给我们展示了“希尔宾斯基三角形”。它由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出。我们可以尝试制作“希尔宾斯基三角形”：取一个实心正三角形，挖去“中心三角形”（以原三角形各边的中点为顶点的三角形），在其余的小三角形中再分别挖去“中心三角形”。如图3，白色三角形代表挖去的面积，黑色三角形代表剩下的面积。如果无限重复以上方法，则“希尔宾斯基三角形”的面积趋近于零，周长趋近于无限大。
图2
图3
“希尔宾斯基三角形”是最简单的分形。分形具有自相似性，顾名思义，就是一个图形的自身可以看成由许多与自己相似的、大小不一的部分组成。乍看起来杂乱无章的分形，其实是大自然的基本存在形式，随处可见，例如雷雨过后的闪电（图4），冬天漫天飞舞的雪花（图5），蜗牛外壳上的螺旋图案（图6），生活中常见的花菜等。小至植物的结构及形态、遍布人体全身的纵横交错的血管，大到天空中聚散不定的白云、连绵起伏的群山，它们都或多或少表现出分形的特征。分形与混沌理论在数学、物理学、生物学、地质学乃至股票指数波动等许多自然与社会科学领域中都有广泛应用，作为当今非线性科学中活跃风靡的前沿学科，不仅向人们展示了数学科学与艺术审美的内在关联，也从某个方面揭示了自然和精神世界的本质差异。
图4
图5
图6
如图7，这张邮票上的图案是我们非常熟悉的“莫比乌斯带”。它是由德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁于1858年发现的。把一根纸条扭转180°，将两头再粘接起来，这样做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有双侧曲面，两个面可以涂成不同的颜色，而这样的纸带只有单侧曲面。如果我们把“莫比乌斯带”沿横中线剪开，出乎意料地得到了一条双侧带子，而不是两条。如果把“莫比乌斯带”沿纵中线剪开，你又将获得新奇之感：剪刀将环绕纸带子剪整整两圈，剪的结果是两条卷绕在一起的纸条，其中一条是双侧纸圈，另一条是新的“莫比乌斯带”。你看，这真是一条奇妙的带子。
“莫比乌斯带”为很多艺术家提供了灵感，比如荷兰画家埃舍尔利用这个结构创作了木刻画里面的人（图8）。“莫比乌斯带”还被应用于工业制造，比如制造磁带，以承载双倍的信息量。
图7
图8
图9给我们呈现了一幅美妙的图案——“向日葵螺旋”。“向日葵螺旋”是由向日葵的管状花排列出的，这种螺旋不是同心圆，兼具扩散感和吸入感，既美丽诱惑，又神秘莫测。它还有个格调更高的名字——斐波那契螺旋。斐波那契螺旋得名于意大利数学家斐波那契。这位数学家提出了一个有趣的数列——斐波那契数列，即数列中从第三项开始，前面相邻两项之和构成后一项，如1，1，2，3，5，8，13，21……斐波那契螺旋基于这个数列，作以连续的斐波那契数为边长的正方形，然后以正方形的对角线为端点画圆弧而形成（如图10）。神奇的是，在较高的数字序列中，两个连续的数的比值越来越接近黄金比例（1∶0.618）。黄金比例具有高度的艺术性、和谐感，被全世界公认为最能引起美感的比例。蕴含着黄金比例的斐波那契螺旋，能给人带来美的视觉愉悦感，也是一种在动态中趋向平衡、和谐的线条，是美的极致。
图9
图10
除了向日葵以外，很多植物的花、种子的排列都遵循这个规律，比如海螺，甚至宇宙中的星系，都可见斐波那契螺旋。不得不惊叹，我们身处的这个世界，真像是按照精确的计算和艺术的表达设计出来的。
