钱帮虎 易坤涛
（同济大学桥梁系 中国 上海 200092）
0 引言
桥梁颤振是一种发散性的自激振动，主要是由于振动结构在流动的空气中不断吸收能量，而该能量又大于结构阻尼在振动中所耗散的能量[1]。 目前，桥梁颤振机理的研究主要有三类方法，分别是基于气动导数的颤振驱动机理分析方法[2]、基于计算流体动力学（CFD）的方法[3]及基于粒子图像测速技术（PIV）的方法[4]。
1940 年11 月7 日，Tacoma 桥风毁以后， 人们从漩涡对结构振动的驱动作用角度对其进行研究，All-an[5],Green[6]分别以物理模型和数值模拟从漩涡分布及其对结构的作用方面对Tacoma 桥的风毁进行解释，我国的张伟[4]通过PIV 设备获得桥梁断面周围的漩涡及其运动规律，从而更加清楚地描述出漩涡的这种推动作用。
POD（Proper Orthogonal Decomposition）技术提供了一种描述结构表面风压场的统计方法, 它将风压场分解为仅依赖空间的协方差本征模态和仅依赖时间的主坐标。 POD 方法可以找出一系列随机过程之间的隐藏在已知数据背后的特征，其最大的优点就是用很少的几阶本征模态去表述一个过程，而通常主要模态和现象的机理是有很大的关联性[7]。 Armitt[8]最早将POD 技术用于风工程领域。周志勇[9]将POD 技术用于斜腹板箱型截面颤振时的表面压力分布特征分析。 分析表明：POD 分解得到的本征模态中有与颤振扭转发散运动关联极强的本征模态， 其主坐标具有与振动位移一致的发散性，且主坐标有一个与颤振发散频率一致的频率。
本文将对典型的钝体断面模型颤振和固定时以及加稳定板颤振时进行表面压力分布测试，通过对原断面模型颤振时表面压力分布进行分析和与固定时进行对比分析，试图找到与颤振发散有关联性的模态。 然后将加稳定板模型和原断面模型颤振发散时本征模型进行对比，找出原断面和加稳定板断面颤振发散时表面压力分布的差异。
1 POD 方法的基本数学格式
假设p（x，y，t）为随机脉动风压力函数，那幺p（x，y，t）的协方差函数C（xi，yi，xj，yj）可写成
风压力协方差矩阵C 特征值问题为：
当采用矩形积分规则计算时，式（2）的离散化表达式为：
其中：ΔAj代表第j 个测压孔的流域面积。
对每阶特征向量进行归一化， 得到归一化的特征向量，即
每阶特征向量对应主坐标an（t）为
2 典型钝体断面原断面颤振时压力波动特征
本文对典型的钝体断面模型和加稳定板模型进行表面压力分布测试，断面形状和测点布置见图1。试验是在均匀流场中进行的， 表面压力采样频率为312.5Hz， 采样点数为12000 点，采样时间为38.4 秒。
图1 典型钝体断面形状和测点布置图
在零风速下， 钝体断面模型竖弯和扭转频率分别为1.334Hz 和2.339Hz。原断面模型和加稳定板模型颤振发散风速分别为7m/s 和8.5m/s， 颤振频率分别为2.308Hz 和2.310Hz。 由于钝体断面模型颤振发散是典型的分离流颤振，颤振频率很接近扭转频率。
为了明确颤振时模型各部分压力波动特性，将模型的表面轮廓线分成上方左侧，上方右侧，下方左侧，下方右侧，左侧腹板，右侧腹板六部分。 颤振时钝体断面模型各部分压力分布对升力矩的贡献见表1，其幅值谱见图2。 从图2 和表1中都可以看出：钝体断面模型的上方右侧和下方左侧的压力波动在总升力矩波动中占了绝大部分，有90%左右。
图2 钝体断面模型各部分升力矩幅值谱
表1 钝体断面模型颤振发散时各部分压力分布对升力矩贡献
3 钝体断面模型表面压力POD 分析
3.1 原断面模型颤振发散时表面压力POD 分析
原断面模型共有98 个测点， 所以协方差矩阵为98×98的实对称矩阵，可以求解出98 阶本征模态。 每一阶本征模态反应压力分布的空间特性，每一阶本征模态对应的主坐标反应了该阶模态的时间特性，从而实现了从时间和空间角度各自对表面压力分布进行研究，探讨颤振发散的机理。 由于颤振是单一频率的运动， 所以对其表面压力进行POD 分解时，只会有一阶或很少几阶模态与颤振运动联系紧密，我们取前6 阶进行观察，后面的高阶模态所含的能量已经很少，不会对颤振运动产生很大影响。
原断面模型颤振时前八阶本征模态φn（xi，yi）以及每阶本征模态对应的主坐标an（t）及幅值谱见图3。 从图3 中可以看出：原断面模型表面压力POD 分解第2 到6 阶模态主坐标都有发散的趋势，但第四阶及之后的模态主坐标幅值谱幅值较小且没有一个比较明显的卓越频率；第二阶本征模态对应的主坐标有明显的发散趋势，且其幅值谱有明显的卓越周期和较大的幅值。 如果把每个测点的特征向量视为一种压力分布，那幺对第二阶本征模态分析不难发现：钝体断面模型的合力中有较大的升力矩，而升力相对较小，这种合力是造成钝体断面模型发生分离流颤振的原因。 从而可以合理地推断原断面模型颤振发散时表面压力POD 分析获得的第2 阶本征模态与颤振运动有很大的关联性。
图3 原断面模型颤振时前八阶本征模态以及对应的主坐标和幅值谱
3.2 原断面模型固定和颤振时表面压力对比分析
图4 是原模型颤振发散时的本征模态及固定时的本征模态对比图。 从图4 中可以看出：原断面模型颤振发散时的第1 阶模态与固定时的第1 阶模态很相近，颤振发散时的第4 阶模态与固定时的第3 阶模态很相近， 颤振发散时的第5阶模态与固定时的第6 阶模态很相近，颤振发散时的第6 阶模态与固定时的第5 阶模态很相近。 原断面模型颤振发散时的第2，3 两阶本征模态在模型固定时没有与之相近的模态，其它模态在模型固定时都有与之相近的模态。
图4 原断面模型颤振发散时模态和固定时与之相近的模态
4 小结
本论文通过对典型钝体断面模型和加稳定板模型进行表面压力采样并使用POD 方法进行分析，从压力分布角度探讨颤振发散的机理。 分析结果表明：
4.1 钝体断面模型颤振时上方右侧和下方左侧的压力波动在总升力矩波动中占了绝大部分;
4.2 原断面颤振时表面压力POD 分解第二阶本征模态对应的主坐标有明显的发散趋势，且其幅值谱有明显的卓越周期和较大的幅值；
4.3 原断面模型颤振发散时的第2，3 两阶本征模态在模型固定时没有与之相近的模态，其它模态在模型固定时都有与之相近的模态。S
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