摘 要：在通常的电磁学教材中，一般只讨论通电螺线管内轴线上的磁场分布情况，对偏离轴线的任意点处的磁场很少涉及。本文根据数值积分的方法，将连续场源的效应离散化，利用IBM一PC/XT微型机的高速计算功能，计算出通电螺线管内外磁场的几个离散解，基本上反映出通电螺线管内外磁场的分布情况。
关键词：数学理论；计算机；通电螺线管；磁场；离散
在通常的电磁学教材中，一般只讨论通电螺线管内轴线上的磁场分布情况，对偏离轴线的任意点处的磁场很少涉及。本文根据数值积分的方法，将连续场源的效应离散化，利用IBM一PC/XT微型机的高速计算功能，计算出通电螺线管内外磁场的几个离散解，基本上反映出通电螺线管内外磁场的分布情况。
1 场源的离散化及其计算方案
对于通常密绕通电螺线管而言，若绕有K层线圈，每层有L匝，则线圈总匝数n=KL，各匝内的电流强度为I。取螺线管的纵剖面图如图一所示。其内半径为R1，外半径为R2，高为H作为离散场源边界，于是离散场源截面S=（R2—R1）H。设电流密度是均匀分布的，则：
如果将场源截面S在经向分成段，轴向分成段，则截面S离散成个小面积元，每个小面元的面积为：
其中为经向（R）方向的步长，为（Z）方向
的步长。于是每个小面元（K=1，2，3┅）内的电流为：
图一 图二 图三
把此电流看作均匀分布在内的电流，这样，整个通电螺线管内的电流可视为由紧密排列的封闭圆环形电流丝所组成。只要截面离散成足够小的面元，便可达到所需计算精度。
如图二所示，设螺线管的轴线为Z轴，原点在管轴的中点。管内分布的激磁电流在无限大均匀各向同性媒质中，在任意圆环形电流丝上取一电流元，其坐标为（，，）。根据毕一萨定律，该电流元在任一场点P（X，Y，Z）所引起的磁感应强度为：
=
其中为由坐标原点指向场点的矢量，为坐标原点指向电流元的矢量。此式是矢量运算式。我们针对螺线管的磁场具有对称性的特点，通过矢量求解单个圆环电侃的脓场。即：
为方便起见，建立如图三所示圆柱形坐标系。设环形电流丝的半径为r，坐标原点位于圆环形电流丝的中心，Z轴垂直它的平面，于是：
其中 R=
dl，所以：
将这个积分化成椭圆积分，并作如下变量代换，即令：
，，
则：
再令：
则：
其中K，E为第一类和第二类椭圆积分。
求得以后，根据矢势的定义式，在圆柱形坐标系中，则有：
分析可知，对于圆形电流，由于对称于r轴的成对电流元和在P点激发的只有方向的一个分量。因而有：
于是，在任意点处的为：
前面我们已把场源离散成为m根圆形电流丝，考虑到上述关于圆环形电流丝的任意性，设场点在r方向与Z方向的坐标为、，按照场源迭加原理，可得待求场点处的磁感应强度为：
这样，就把积分化成了求和的数值计算，即可以直接编制程序让计算机去完成这一繁重而又杂复的计算任务。
2 程序粗框图及其计算结果
根据问题的性质和上述计算方案，考虑到程序的通用性等因素，制定计算流程框图如图四所示。
以某一实验用螺线管为例，取其螺线管的内半径R1=2.7×10-2m，外半径R2=3.26×10-2m，高度H=22.8×10-2m，总匝数n=1995匝，每匝线圈通有电流I=0.5安培。取轴向步长为2.85×10-2m；经向步长为1.2×10-2m，椭圆级数取前五项，共计算了20个场点。其数值表略。
3 结果分析及讨论
由所得计算结果可以做以几点讨论。
1、在螺线管内部的中心轴线上，即PR=0处，各点的经向分量Br均为零，而沿轴线Z的分量BZ，亦即合磁感应强度的大小几乎无变化，基本是均强的。但在管口处的确是内部的一半。如图五所示。这也恰好是解析方法所得结论。
2、在螺线管管壁的内侧，即离中心轴线0.0024m处，的经向分量Br在中点处几乎为零，并沿Z轴由小到大。在Z轴方向上的分量BZ在管内各处仍然不变，在管口处的BZ亦是内部BZ的一半。而合磁感应强度仍表现为匀强的特性，但在管口处的合磁感应强度不再是内部的一半，而是稍有差别，如图六所示。这是因管口处的边缘效应引起的。
3、在螺线管外侧，离中心轴线0.048m处，的经向分量Br在中点出为-3.239293 E-10，可认为为零.由该点起到管端其值逐点增大。而在Z方向的分量亦基本无变化。管外合磁感应强度与管内对应点的相比较，其数值小了一个数量级，但不为零，如图七所示。
综合计算结果和上述分析可知，对于一般密绕情况下的通电螺线管，在管内部，可以认为磁感应强度基本是处处均匀的；管端处的是内部的一半.在螺线管外侧，磁感应强度不为零。存在较弱的分布，但比管内磁感应强度小得多。这些结论均与用解析方法讨论所得结果相吻合，但它却给出了清晰的数值分布概念。
图四
图五
图六
图七
作者简介
彭丽娟（1983-），女，硕士研究生，讲师，研究方向：应用数学与计算机。
