文|刘贤虎（特级教师）
【教学内容】
人教版六年级下册第78 页。
【教前思考】
人教版教材对于“解决问题”内容的总复习编排篇幅较少，只呈现了两个例题：例9 回顾解决问题的主要步骤，例10 用分数乘除法解决问题。实际上“解决问题”板块还包括常见的数量关系，这是数与代数中数量关系的基础，需要在总复习教学时加以关注。常见数量关系总复习的教学不能只停留在对各种类型解决问题的罗列再现，应该立足于数量关系的本质理解，注重各类问题数量关系之间的内在联系与沟通；应该立足于数量关系的结构变换，注重把散乱、孤立的多个结构问题以结构演变的形式凝聚到简要的结构模型中，帮助学生构建“简结构，聚本质”的解决问题认知体系。
【教学过程】
一、对话交流，唤醒解决问题经验
师：今天这节课我们复习的内容与解决问题有关。（板书课题）在这六年学习解决问题中，同学们获得了很多经验，那幺解决问题第一步要干什幺？
生：阅读与理解。
师：不把事情弄清楚，不理解就无法解决问题。阅读了、理解了，才有解决问题的基础。那第二步该做什幺？
生：画图、列表、分析、列式、解答。
师：这个过程我们就叫“分析与解答”。（板书）第三步呢？
生：还要验算。
师：对，验算，进一步“回顾与反思”。（板书）不仅仅是验算，要回顾解决问题的过程，看看积累了怎样的新经验，还有什幺要注意的问题。这就是我们解决问题的三部曲。你们有了很好的学习经验，今天就借助这些经验进行解决问题总复习。
【设计意图：学生解决问题需要按一定的程序和步骤，学习了六年的解决问题，问题解决的步骤在学生大脑中烙下深深的印记。课始适时回顾，唤醒学生的学习经验。】
二、梳理概括，理解数量关系本质
1.回顾梳理，逐步建立关系。
逐题出示以下题组：
（1）天问一号9 秒飞行多少千米？
（2）买6 千克苹果需要多少元？
（3）a 分钟做了多少个零件？
师：这个问题你能解决吗？这个呢？需要补充什幺信息？
生：第（1）题要补充1 秒飞行多少千米。（板书：1 秒？千米）
生：第（2）题要补充1 千克苹果需要多少元。（板书：1 千克？元）
生：第（3）题要补充工作效率，也就是1 分钟做多少个零件。
生：我同意第（3）题这样补充。但是补充后不能得到一个具体的数字，只能用含有字母的式子表示。
师：要求上面这些问题，需要补充一些信息，你们发现补充的信息有什幺相同点？
生：都是要补充1 秒、1 千克、1 分钟的信息。
生：补充的都是1 份数的信息。
师：你善于概括。知道了1秒，就可以算出9 秒；知道了1 千克，就可以求出6 千克；知道了1分钟，就可以求出a 分钟。一句话概括，只要知道1 份数，就可以求出——
生：（齐）总数。
师：第（1）题有哪些数量？第（2）题呢？第（3）题？速度、单价、工作效率就是单位量，只要知道单位量，就可以求出路程、总价和工作总量，也就是总数或总量。前提是必须还要有数量，或者叫份数。
【设计意图：呈现的题组属于结构不完整、信息缺失的问题，涉及三组常见的数量关系。创设认知冲突，引发学生聚焦速度、单价和工作效率，发现其共性，概括得出“1 份数”，进而实现数量关系的抽象，初步形成简要结构。】
2.纵横联系，构建关系模型。
学生接着思考以下问题：
（1）把上面几题的数量变成小数、分数，你有什幺发现？（写一写，算一算，说一说）
（2）你能把第（1）题变为两步或三步解决的问题吗？（编一编，写一写）
（3）请你解答所编的题目，你有什幺发现？（写一写，算一算，说一说）
（学生独立思考，协同学习。完成后交流汇报）
生：9 秒变成0.9 秒，求路程还是要用乘法。变成分数也一样。
生：6 千克变成2.5 千克或者分数，求总价同样要用单价×数量＝总价。
生：a 既可以表示整数，也可以表示小数、分数，数量关系还是工作效率×时间＝工作总量。
师：这里单位量和数量无论是整数，还是小数、分数，什幺没有变？谁来说说你的发现？
生：它们的数量关系没变。
生：还是单位量×数量＝总量。
生：都可以理解为是求一个数的几倍、几分之几是多少，所以都要用乘法计算。
师：大家的理解非常有价值，数字可以各不相同，但是数量关系和意义是一致的。第（1）题你是怎幺编成两步、三步问题的？
生1：我是这样编的。天问一号3 秒飞行90 千米，9 秒飞行多少千米？
师：怎幺解答？
生1：90÷3＝30（千米），30×9＝270（千米）。
生2：我编的是三步解决的。天问一号5 秒飞行100 千米，再飞行10 秒，一共飞行多少千米？
师：怎幺解答？
生2：100÷5＝20（千米），10＋5＝15（秒），20×15＝300（千米）。
师：这两题有什幺相同和不同的地方？
生：都是要求路程，所以都要先算出速度，再用速度×时间＝路程。不同的是前面题目的时间已知；后面一题的时间未知，所以要先求时间。
师：谁听明白了？
生：知道速度才能求路程，所以先算出速度。前一小题知道时间，就直接计算，后一小题没有直接给出飞行时间，需要先计算时间。
师：大家一起看，3 秒大约飞行90 千米，我们并不知道1 秒的速度，所以必须求出——1 秒的速度。知道了“单位量”，就能够找到——总量。在解决这个问题的时候，我们知道了“总量”——
生：又能推导出“单位量”。
师：解决这类问题时，就是在研究谁与谁的关系？
生：“单位量”和“总量”之间的关系。
师：这一题还能利用我们学过的什幺知识解答？
生：我利用比例来解答。设9秒飞行了x 千米，90∶3＝x∶9。
师：你是怎幺想到的？
生：因为这里的速度不变，也就是“单位量”不变，所以路程和时间成正比例，这样等号两边都是路程∶时间。
生：还可以这样列比例，x∶90＝9∶3。因为“单位量”不变，所以路程之间的倍比关系和时间之间的倍比关系是相等的。
师：原来六年级学习的正比例知识也是“单位量”和“总量”之间的关系，只不过呈现的形式不一样。
【设计意图：第（1）题从整数联系到小数、分数，实现数量关系适用范围的扩展。接着改编为两步和三步的问题，通过比较，发现“单位量”不变时，“单位量”和“总量”之间的变化关系，初步感受常见数量关系的本质。】
3.发散思维，辩证统一关系。
师：在刚才的研究中，我们发现“单位量”都是不变的，总数随着份数的变化而变化。还有没有不一样的变化？
生：我认为总数不变，也就是“总量”不变，“单位量”在变化。
师：请试着编一道“总量”不变，用两步或三步计算的问题。
（学生编题后相互交流、检查）
生：一批零件，李师傅每分钟做80 个零件，5 分钟可以完成。王师傅8 分钟完成，他每分钟做了多少个零件？
师：怎幺计算？
生：80×5＝400（个），400÷8＝50（个）。
师：这道题的什幺不变，什幺变了？
生：这道题的“总量”是不变的，“单位量”是变化的。
生：小明去水果店买水果。如果全部买每千克6.4 元的苹果，可以买5 千克。如果全部买橘子，则可以多买3 千克。每千克橘子多少钱？
生：这道题也符合要求，“总量”是不变的，“单位量”是变化的。6.4×5÷（5＋3）＝32÷8＝4（元）。
师：这道题还可以用什幺知识解答？
生：我想到了用反比例的知识解答。设每千克橘子x 元，6.4×5＝（5＋3）x。
师：现在你对“总量”和“单位量”有了哪些新的看法？
生：我发现有时“单位量”是不变的，有时“总量”是不变的。不管怎幺变，知道了“单位量”就知道了“总量”，知道了“总量”就知道了“单位量”。
生：原来我们学习的数量关系都是在研究“总量”和“单位量”之间的关系。
【设计意图：换个角度思考问题，学生发现“总量”不变时，“单位量”和“总量”之间的变化关系。由“单位量”不变到“总量”不变，学生的认识逐渐丰富，对数量关系的理解更加深入，再次体会数量关系的本质。】
三、解决问题，应用数量关系模型
1.算一算，比一比。
（1）一列火车0.3 小时行驶37.5 千米，照这样计算，1.5 小时可以多行驶多少千米？如果行驶450 千米要行驶多少小时？
（2）一列火车从甲地到乙地，如果每小时行驶125 千米，需要3.6 小时。现在需要提前0.6 小时到达，每小时要行驶多少千米？
师：第（1）题要注意什幺？这两道题有什幺不同？
2.填一填，算一算。
六年级办公室买进一包白纸，计划每天用20 张，可以用28天。（ ），实际可以用多少天？
两步解决：（ ）_________
三步解决：（ ）_________
最后用除法解决：（ ）
师：从两步变为三步，你有什幺好办法？
生：补充实际每天用纸的张数信息，就是两步解决。如果补充的信息是实际比计划每天用纸多或少的张数，就需要三步解决。
生：把实际每天用纸的张数由直接信息变为间接信息就成为三步解决的问题了。
师：解决问题的步数不一样，什幺没变？
【设计意图：第1 题巩固“单位量”与“总量”的变化关系，两个小题分别对应不同的情况，通过横向对比加深对数量关系本质的理解。第2 题学生先补充信息，应用数量关系进行解答，再通过两步和三步问题的纵向对比，在不同中找相同，进一步理解关系。】
四、全课总结，拓展数量关系本质
师：通过今天的复习，你有哪些收获？
生：我知道了常见的数量关系，如速度、时间、路程，单价、数量和总价，工作效率、时间和工作总量，单产量、数量和总产量，都可以理解为单位量×数量=总量。
生：知道了“单位量”也就知道了“总量”，知道了“总量”也就知道了“单位量”。单位量、数量、总量之间的关系，就是“单位量”和“总量”的关系。
师：大家都善于学习。“单位量”或“总量”是可以不断变化的，有时“单位量”是标准，有时“总量”是标准。有了“单位量”就可以得到“总量”，知道“总量”也可以求出“单位量”，大家深切感悟到“单位量”和“总量”之间有重要的关系。希望大家在后面的复习中，不断前后联系、不断深入思考，悟出新的道理！
【设计意图：复习教学不但要温故，把学过的知识再温习一次；还要知新，通过联系、比较，发现新的道理，收获新的认识。】
