[摘 要] 为了追求法则教学的自然高效，文章以“多项式乘多项式”的法则教学为例，从“追根溯源，探寻法则的生长点”“合作探究，感知法则形成过程”“实际应用，建构法则知识体系”三方面展开教学与分析，并针对法则教学谈三点思考：关注导入方式，注重知识连贯性;渗透数学思想，多角度诠释法则;放慢探究速度，暴露法则本质.
[关键词] 法则;多项式乘法;教学
随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》的颁布，不少专家、学者对初中数学教学提出了不少源于实践的建议，其中最关键的一点是“回归”. 回归主要存在两方面的深意，一方面是期望学生能回归教材，熟练掌握基础知识与基本技能，并利用它解决一些基础性的问题;另一方面是期望教学能回归自然，让课堂动态生成.
然而，遗憾的是，仍有些教师存在“重解题，轻过程”的心理，尤其是运算法则类的教学，他们只知道让学生训练，对于运算技巧的来龙去脉与所蕴含的数学思想方法等则不做解释，或者语焉不详. 为此，本文以“多项式乘多项式”的教学为例，具体谈谈如何追求运算法则教学的自然高效.
教学简录
1. 追根溯源，探寻法则的生长点
法则的形成过程是本节课授课的重点，对帮助学生建构完整的认知结构具有重要的作用. 引导学生追根溯源，探寻法则形成的合理性与必然性是教学的起点. 教师可基于学生原有认知，带领他们先回顾旧知，引出主题，为新知教学做铺垫.
师：单项式的乘法我们大家都已经接触过，现在来做几道题.
①（-2m2c）（-3nc）;②c（b+m）;③-6a（a3-3ab+1）.
生1：第一题的答案为6m2nc2.
师：很好！问题①是哪一类运算？依据是什幺？
生2：问题①属于单项式的乘法，计算依据为单项式的乘法法则.
师：不错！单项式乘法法则的本质就是乘法交换律的应用.
生3：问题②的答案为cb+cm.
师：解答此问题应用了哪一种运算？依据是什幺？
生4：问题②属于单项式和多项式相乘，运算依据为乘法分配律的应用.
师：那幺问题③呢？
生5：问题③的答案为-6a4+18a2b-6a，此问题同样为单项式乘多项式，解题时应用了乘法分配律.
师：非常好！遇到此类问题，我们既要关注不漏乘，又要注意符号. 从上面所给的答案可以看出，大家在细节方面处理得很好. 若将问题②中的c换为（a+n），问题就变成（a+n）（b+m），新的式子属于哪种运算？
学生窃窃私语，教师趁学生兴趣正浓，顺势引出本节课的教学主题——多项式的乘法.
分析课堂导入环节该用什幺样的方式切入教学主题，是每个教师每节课备课前都要思考的问题. 不论是丰富的情境创设，还是旧知的回顾，都要以激发学生的探索欲为前提. 笔者研究过不少课例，对于本节课，大部分教师选择以厨房面积的生活实际问题来引入多项式和多项式相乘这一主题.
厨房面积问题的导入方式于学生而言，还是比较容易接受与理解的，但由于切入主题的方式过于直接，学生的思维缺乏一个循序渐进的过程，因此这对学生发散思维不利. 同时，由于教师对学生的实际能力缺乏了解，学生只知道需要计算面积，却不理解为什幺要计算，因此这种导入方式忽略了知识建构与方法迁移.
上述教学过程，教师从学生原有认知结构出发，通过单项式乘法的复习逐渐过渡到多项式乘法. 从单项式乘单项式、单项式乘多项式等角度回顾单项式的乘法法则，能从一定意义上夯实本节课的知识基础. 其中，教师提出将问题②中的c换成式子（a+n），此处则为多项式乘多项式的生长点，类比单项式乘法法则的应用，学生不难理解多项式的乘法法则. 因此，这是一个成功的导入方式.
教师用几个简单的计算导入新课，不仅帮助学生再次梳理了单项式乘法法则的应用规则，还让学生学会了自主类比单项式乘法法则的研究方法，这就为建构前后逻辑连贯的教学奠定了基础.
2. 合作探究，感知法则形成过程
新课标强调以自主、合作、探究为课堂教学的主要模式. 法则的形成需要经历一个复杂的过程，若单纯地凭借教师的讲解，不仅会让学生感到学习枯燥，还会浪费课堂不少时间. 事实证明，以合作探究的方式探索多项式与多项式相乘的法则形成过程，不仅能激发学生的潜能，激发学生的探索欲，还能有效地促进学生创造性思维的成长.
师：对于式子（a+n）（b+m），该如何计算呢？请大家类比单项式乘法法则的研究过程进行合作探究，最后各小组汇报成果. 探究内容为“你是怎幺想的？存在哪些研究方法”.
组1：我们小组将（a+n）（b+m）中的（a+n）视为一个整体，也就是回归到c（b+m）的计算中去，通过分配律的应用，获得b（a+n）+m（a+n），再应用乘法分配律进行计算，最后获得结论.
师：有点意思. 除此之外，同学们还有其他方法吗？
组2：我们组将（b+m）视为整体，具体计算过程与组1类似.
师：很好！若从数形结合思想出发，将我们所熟悉的长方形面积应用到此处，是否可行呢？
生6：应该可行. 我们可以先构造一个相邻边的长分别为（a+n）和（b+m）的长方形.
师：构造的长方形的面积该如何表示？
生6：（a+n）（b+m）.
师：还有其他表示方法吗？
（学生交流，认为可以应用分割法来计算图形的面积）
师：同一个图形的面积，不论用哪种方法进行计算，结论都是一样的. 割补法在我国有着悠久的历史，最早出现在刘徽的出入相补原理中，即整体面积等于部分图形面积之和. 该原理充分体现了数形结合思想、建模思想等. 于本题而言，哪位同学能具体谈谈割补法的应用？
学生合作交流后，用图1表述了割补法在这个计算中的应用.
师：非常好！从大家展示的方法来看，本人觉得还有所欠缺，那就是图形中的字母均表示边的长，均为正数，但式子（a+n）（b+m）中的a，b，n，m表示的是任意实数，甚至可能为式子.
学生纷纷点头表示赞同，这是他们没有想到的.
师：现在请大家尝试用文字语言和符号语言来表征多项式与多项式相乘的法则.
文字语言略，符号语言为：（a+n）（b+m）=ab+am+nb+nm.
分析本教学环节以（a+n）（b+m）为研究主题，教师首先鼓励学生自主研究该式的计算方法，并交流计算结论，要求学生说说计算的思考过程与所运用的方法. 整个过程都建立在“以生为本”的基础上，由教师主导，学生自主探索，这样能使学生亲身经历法则的形成过程，从根本上认识到多项式与多项式相乘的本质是基于单项式乘法运算而来的，从而对这种运算法则有更加深刻、清晰的认识.
随后，在教师的引导下，学生尝试从数与形两个角度分别诠释多项式与多项式相乘的运算法则. 分割法的引入不仅渗透了数学文化，激发了学生的爱国热情，而且巧妙地让学生感知到了构造恒等式在运算中的神奇之处，为后续通过构图法验证勾股定理、乘法公式等奠定了基础. 当然，数形结合思想的渗透也是此环节的点睛之笔.
最后，教师鼓励学生用文字语言与符号语言来总结多项式相乘的法则，这种师生、生生之间和谐、民主的互动方式，不仅营造了一种舒适的学习氛围，而且让学生亲历了法则的自然生成过程与发展过程. 随着探究的深入，该法则由原本静态的结论，转化为动态的课堂自然生成内容，因此这是一种淡化法则教学生硬规定的方法，值得大力提倡.
3. 实际应用，建构法则知识体系
任何知识的学习都是在为实际应用做准备，多项式相乘法则的学习自然也要为解决实际问题服务. 为了巩固学生的学习成果，夯实学生对法则的认识，建构完整的认知体系，教师可带领学生通过编题、解题等方式感知法则的实用性.
教师用PPT展示了六个单项式，分别为a，2b，m，n，c，1，要求学生从中任取若干个单项式，用“+”“-”符号连成多项式，并组成多项式与多项式相乘的式子，由同桌计算. 注意：每个单项式只能用一次.
教师在巡视过程中，挑出典型式子（a-n）（2b+c-1）进行投影，并与学生一起探索.
师：现在我们一起来观察式子（a-n）（2b+c-1）. 这个式子属于多项式与多项式相乘这一类别吗？
生（齐）：属于.
师：那该式乘开后共有几项？
生7：6项.
师：为什幺是6项？具体是怎幺思考的？
生7：可将（2b+c-1）视为一个整体，结合整体思想，将该式转化成我们所熟悉的单项式与多项式相乘的情况，再结合分配律可得a（2b+c-1）-n（2b+c-1），此时再一次使用分配律，可发现最终得到6项.
师：不错！除此之外，还可以从什幺角度来分析？
生8：换个角度，可将（a-n）视为一个整体.
生9：根据以上对多项式的乘法公式的符号表述，其中a，b，n，c可为任意实数，因此根据多项式乘法法则，该式乘开后为6项.
分析自主编题、同桌互解互改的方式让学生有了更多的自主发挥空间，教师将典型例题拿出来与学生一起探讨，一方面能巩固学生对多项式乘法的认识，另一方面能让学生充分感知到多项式乘法法则万变不离其宗，即不论问题发生怎样的变化，都可以从整体思想、数形结合思想等角度来分析并解决，这种认识能为学生的后续学习夯实基础.
学生自主编题的模式，除了能凸显出学生在课堂中的主体地位而外，还能活跃课堂气氛，让学生更加乐于探索问题，从而真正地吸收并内化所学知识，建构完整的知识网络. 因此，这是一种提升学生合作交流能力与数学思维能力、发展学生创新意识的教学方式.
几点思考
1. 关注导入方式，注重知识连贯性
教材是实施有效教学的载体，读懂教材并领悟编者的设计意图是开展有效教学的关键. 但教材所呈现的内容是静止不变的，尤其是概念、公式、法则类信息，大部分直接以结论的形式呈现. 这些内容的来龙去脉以及蕴含的数学本质等，需要教师通过动态的课堂教学活动加以展示，让它们自然地呈现在学生面前.
课堂导入作为一节课的起始，对一节课的情感基调具有直接的影响. 若教师没有认真揣摩编者的意图，也没有充分了解学生的“最近发展区”，那幺教学就有可能流于形式，学生的思维也会因缺乏动态发展过程而难以建构完整的认知体系，各种数学能力的发展就更无从谈起了.
教师在本节课的导入环节，通过几道单项式乘法的计算题来帮助学生回顾与之相关的法则，这为本节课的研究指明了方向. 而且这种导入方式对初中生而言，充满了“数学味”，学生在层层递进的问题引领下获得了数学知识之间的联系，不知不觉间就揭露了本节课研究的主题，从而自然地进入自主探索状态.
2. 渗透数学思想，多角度诠释法则
在法则的探索过程中，学生不仅学会了从“数”的角度探索多项式相乘的公式，还在教师的引导下从“形”的角度来分析法则. 这不仅能让学生从多个维度理解该法则，还能渗透数形结合思想，为后续学习奠定基础.
从研究方法上来看，除了明显的数形结合思想，教学过程还涉及转化与化归思想、类比思想、整体思想等，这些丰富的数学思想方法能让学生从多个角度感知到知识与方法之间的联系，能深化对多项式乘法的理解.
3. 放慢探究速度，暴露法则本质
不少教师为了响应“双减”政策，美其名曰“减负增效”，实际上在课堂上应用“快餐式”教学. 最典型的就是公式、法则类教学，这类教学减掉了与学生共同探索的过程，将结论直接呈现给学生，让学生记住公式后反复进行做题训练. 这种教学方式看似节约了时间，实际上省略了公式、法则的探究过程，阻碍了学生思维的发展.
多项式乘法的公式教学，若教师不将公式的来龙去脉交代清楚，学生在应用时只能生搬硬套，无法真正地做到知其然且知其所以然. 而一旦对法则的本质不理解，后续面对综合性强的复杂问题时，学生只能束手无策. 本节课，教师鼓励学生通过独立思考、合作交流、自主编题等方式从多个角度研究多项式相乘的法则，看似耗费了不少时间，实际上却能从真正意义上提升学生的能力.
总之，概念、公式、法则与定理类的教学是数学教学的基础，教师应在充分尊重学生的基础上，鼓励学生自主探索，唤醒学生的探究欲，让他们获得知识的本质，建构完整的认知体系. 同时，教师还要不断地总结教学经验，优化教学手段，完善教学方法，只有让课堂“活而不乱”，才能真正地促使法则教学自然、高效.
作者简介：季霞（1981—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.
