赵文明 钱如友

（滁州学院地理信息与旅游学院 安徽·滁州 239000）

导航技术是一种多学科交叉的新兴工程应用技术，它是载人航天与深空探测、深海潜航、物联网、智能交通、公共安全以及位置服务等国家战略性新兴产业的重要支撑技术之一，是新形势下测绘地理信息技术与其他学科交叉融合发展的必然产物。

1 课程特点及教学现状

我校于2018年开设了导航工程专业，每年的招生规模在50人左右。笔者首开了导航工程专业的启蒙课——《导航学概论》。根据人才培养方案要求，本课程主要讲述导航有关的各方面理论、方法与技术，让学生对导航学科有个全局的了解和认识，重点对坐标系统、时间系统、常见导航定位方法的基本数学模型进行较为全面的介绍，侧重于基本概念、基础理论、普适性方法和技术的介绍。

历经三届学生的教学实践，笔者发现该门课程具有知识面广、理论性与实践性要求都较强、重点难点较多的特点。教学中存在学生概念理解不深刻，原理应用能力差；分析计算能力弱；理论知识与工程实践问题结合应用能力较弱；教学方法单一，教学内容滞后；考核形式欠科学、学生学习主动性欠缺等问题。基于此，本文以《导航学概论》为例，对基于“案例式教学”+“雨课堂”的混搭教学模式进行初步的实践探索，以求为高校专业课程线上授课提供经验与借鉴。

2 案例式教学的实施过程

案例式教学是一种以学生为主体、老师引导学生以专业知识分析具体案例的教学方法，具有目的明确、形象生动、启发深刻、学生主动性强等特点，能够提高学生分析问题和解决问题的能力。这其中，案例是实现案例式教学的前提和基础，不仅要求案例所涉及的知识点要丰富，并且要求案例具有针对性、系统性、可实践性和启发性。本文以课程中非常基础且重要的知识点——坐标系旋转为例，阐述案例式教学的实施过程。

如图1所示是某飞机导航过程中载体坐标系的定义。X轴指向飞行方向，Y轴指向飞机的右侧，Z轴指向下方。飞机绕三轴旋转时所对应的旋转角为Roll、Pitch和Yaw，即通常所说的横滚角、俯仰角和航向角。现该飞机经历了一次组合旋转，对应的三角 Yaw、Pitch、Roll分别为 30°、-30°和 30°。接下来，又经历第二次组合旋转，对应的三角Yaw、Pitch、Roll分别为-30°，30°和-30°。请回答以下三个问题：

（1）计算两次旋转分别对应的旋转矩阵；（2）获得两次旋转之后总的旋转矩阵；（3）以欧拉角表示所对应结果的总旋转。

图1：飞机机体坐标系的定义

为解决此问题，需要先回答以下几个问题。

问题1：载体的姿态角如何定义？各自的取值范围是多少？

答：对于不同的导航解算问题，载体的姿态角有不同的定义。针对上述案例，定义如下：对于Roll角，飞机右倾时为正，左倾时为负，取值范围为-180°至180°；对于Pitch角，机头向上抬起时为正，向下俯视时为负，取值范围为-90°至90°；对于Yaw角，以北方向起算，顺时针为正，逆时针为负，取值范围为0°至360°。

问题2：如何计算旋转矩阵？

答：不同的应用场景下，旋转矩阵的计算方式不尽相同，因为计算旋转矩阵时飞机绕X、Y、Z三轴的旋转次序不同，笔者在深入阅读了Representing Attitude:Euler Angles,Unit Quaternions,andRotationVectors一文后，对此有了比较深刻的理解。对于坐标系的旋转，应对载体绕三个轴的旋转分别做处理。本例中，旋转轴的顺序是3,2,1，即依次以Z轴、Y轴以及X轴为旋转轴进行旋转。首先以绕Z轴旋转为例，阐述旋转矩阵的计算过程。此时，问题2可以分解为以下两个小问题。

图2：以Z轴为旋转轴的坐标系旋转

问题2.1：什幺是方向余弦矩阵？如何构成？

答：如图2所示，某一点在参考系下坐标为（x,y,z），在本体坐标系下坐标为（x’,y’,z’）。以x’,y为 x’轴与 y 轴之间的无符号夹角。方向余弦矩阵就是坐标系变换中用到的旋转矩阵。之所以称为方向余弦矩阵，是因为矩阵的元素来自于本体坐标系和参考坐标系之间的无符号夹角的余弦。

根据这些夹角，旋转矩阵可写为：

如法炮制，可得到坐标系分别绕Y轴及X轴所形成的方向余弦矩阵。具体分析过程交由学生自主完成。

问题2.2：在已经知道坐标系依某个次序旋转的情况下，如何计算组合旋转后的矩阵？

答：此时，需要把前面获得的三个矩阵左乘即可。左乘指最先旋转获得的矩阵在最右边，最后旋转获得的那个矩阵放在最左边。结果如下：

在推导坐标变换关系时，提醒学生一定要注意是谁到谁的变换，千万不能搞反了，否则前功尽弃。

问题3：在获得旋转矩阵的前提下，如何计算三个欧拉角（即绕三轴旋转的角度）？

上述对坐标系旋转的计算过程进行了详尽的剖析，使学生在具体问题的分析、计算过程中对该知识点有了较为深入的理解。其实，无论线上还是线下，都可以在案例探讨中与学生进行交流，掌握学生对基础知识、基本概念的掌握程度。

3 基于雨课堂平台的教学手段改革

传统高校课堂授课方式还是以教师讲授、学生听讲的教学模式为主，现如今“翻转课堂”作为近年来被大力推广的一种全新的教学模式，它颠覆了传统的教学过程。把 PPT、MOOC、微信融为一体的智慧教学工具——“雨课堂”，被誉为“我国高校教学信息化新的发展阶段的标志”。雨课堂教学模式主要流程如图3所示。

图3：雨课堂翻转课堂教学操作流程

从图3可以看出，雨课堂教学模式中，以学生为活动的主题，教师在整个过程中起着监督、组织课堂交流讨论、适时引导和指导纠正的作用。这一教学活动方式与案例式教学模式不谋而合。课前将前期设计的案例、习题、视频等资料通过“雨课堂”推送给学生，教师通过学生的预习情况与布置作业的完成情况，实时调整优化教学设计。

课上采用“雨课堂”进行授课，并结合QQ群或微信群进行线上答疑解惑，相关学习资料仍上传至“雨课堂”班级群。雨课堂还可以实现教学环节的签到、答疑、板书、录课、回放、随机抢答、弹幕、作业批改统计等功能，与即时通讯工具相结合，二者相得益彰。

4 结语

历经三届学生雨课堂教学平台的教学实践，改革传统的课堂教学模式，秉持理论够用，重在实践的原则，从案例设计、教学手段等方面入手进行教学改革，目前取得了初步成效，提升了课程的教学效果和教学质量。当然，过分依赖教学平台也会带来一些弊端。例如，过度依赖移动网络和智能设备、挂空号现象、昂贵的流量费用等。这些都将是下一步提升教学质量过程中的主要研究目标。