构建初中数学模型解决实际问题

董佳毅��

摘要：数学模型离不开应用场景，是构建应用场景和数学知识点之间联系的有效方法。本文首先探讨了初中数学教学中数学模型应用存在的问题，并以具体的教学活动和数学模型应用为案例，探讨了初中数学模型解决实际问题的教学方法和应用方式，为初中数学科目教学中数学模型思想的应用提供资料参考。

关键词：初中；数学模型；解决；实际问题

构建初中数学模型解决实际问题，一直是初中数学科目教师教学与教研活动开展的重点。但由于初中数学教学中数学模型的应用对教师的专业化水平有较高要求，因而教师在具体的数学模型应用中仍然存在着一些问题。如何解决这些问题，运用好数学模型这一有效的工具，成为广大初中数学教师重点研究和实践的课题。

一、 数学模型运用在初中数学中的常见问题

（一） 对数学模型的应用不够重视

数学模型是数学科目的核心方法，在教学活动中运用好数学模型，能够将抽象的数学知识与生活实际建立联系，提高学生对数学科目的学习兴趣。虽然数学模型的应用在新课标中予以明确标出，但部分教师仍然固守应试教育的思想，忽视了对数学模型的应用。这是由于数学模型在教学活动中的应用，需要教师灵活地运用教学资源。但如果能够应用好数学模型，则不会出现这一问题，因而数学模型在数学课堂教学中的应用，对教师的教学能力、课堂设计能力和教学资源调用能力提出了挑战。

（二） 没有发挥数学模型的发散性和拓展性

数学模型作为数学科目的基础工具，是解决数学问题的模板。正因如此，数学模型在数学教学中的应用，要求教师能够将其与学过的其他知识建立联系，通过数学模型的应用，来拓展课堂教学的广度和宽度。很多教师在应用数学模型中，不重视对数学模型的应用拓展，虽然在教学过程中，使用了数学建模的思想，但对于得到的数学模型，却并没有进行变式拓展训练。这虽然实现了数学建模思想的渗透，但却没有让学生学会如何灵活地应用数学模型，导致建模思想在数学教学中所发挥的作用受到限制，影响了对学生应用能力的提高。

（三） 教学资源不符合学生的生活实际

想要有效地激发学生的数学科目学习兴趣，就要从学生的生活实践出发，选取与学生息息相关的教学资源，并以此为基础，构建数学模型思想的教学过程。但部分教师在日常教学中，却习惯拿来主义，对于建模所使用的例题、场景没有仔细斟酌，这导致很多建模的场景与学生的生活实践相去甚远。例如，在几何最短距离模型中，采用了小马饮水过河的场景，虽然这一场景有一定的童趣性，但城市中的学生普遍对小马饮水和小马过河的场景不敏感。如果教师能够适当改变场景，将其转变为学生买玩具、去少年宫等场景，必然能够极大地激发学生的学习兴趣。这种死板的套用经典教学情境的情况十分普遍，不利于激发学生的学习兴趣，也无助于激发学生对数学建模的了解。

二、 构建初中数学建模解决实际问题例题与研析

初中数学科目中所应用的数学模型，可以分为方程和方程组模型、函数模型、不等式和不等式组模型、概率和统计模型、几何模型几种经典模型，在具体的教学活动中，教师一定要选择好模型的应用场景，使建模的场景更贴近学生的生活，从而培养学生应用数学模型解决实际问题的能力。

（一） 方程和方程组模型

方程和方程组模型在日常生活中十分常见，在学生的实际生活中应用得也比较广泛。想要提高学生应用数学模型解决实际问题的能力，教师就要创设符合学生的生活化情境，并以此为基础来引导学生构建方程和方程组模型。只有这样，才能有效地激发学生的学习热情，才能让学生乐于对数学模型在实际生活中的应用展开探究。

例题：（2007年某市中考试题）A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？

变式：学校新建设了一条200米的标准跑道，同学们都喜欢到跑道上慢跑锻炼身体。小明和小红一起在跑道上运动。已知小明作为运动健将，每秒钟比小红多跑5米，但小红比小明提前5秒开跑，小红和小明同时到达终点，问小红和小明每秒跑多少米。

例题是某市的中考题，该题目作为经典题目，题目的场景为工程队施工。这一场景虽然在数学题目中比较常见，但却不适用于教学活动，这是由于这一场景对于中学生而言，过于遥远，无法激发学生的学习兴趣。而变式，将题目的场景转化为小红和小明慢跑的场景，这种运动的场景同学们在日常生活中经常遇到，并且同学之间也有让跑得慢的同学先跑、跑得快的同学后追的游戏，因而变式更加适用于在教学中应用，而对于例题的工程队伍施工的场景，可以在运用变式完成数学建模过程教学后，用于数学模型的应用拓展训练。

（二） 函数模型

例题：（2007年贵州某市中考试题）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元。市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

（1） 求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（2） 求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。

（3） 当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

变式：学校小超市为了给学生补充营养，采购了一批单价为4元的果奶产品，该产品计划售价不高于5.5元。通过调查分析，如果每瓶果奶以5元的价格销售，那幺平均每天能卖出90瓶，价格每提高1元，则每天少销售3瓶。

（1） 求平均每天的销售量y（瓶）与销售价x（元/瓶）之间的函数关系式。

（2） 求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/瓶）之间的函数关系式。

（3） 当牛奶的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

例题中所给出的场景为水果店批发水果，虽然该场景学生也会遇到，但由于水果批发、公路建设、路程问题等，学生在习题中经常遇见，对于此类问题已经麻木。恰逢学校校内超市新进了一批果奶，这种果奶口味很受学生欢迎，我在教学中就将上述水果批发的场景，更换为与学生生活相关的学校超市果奶采购和销售的场景。由于果奶学生经常买来喝，甚至当天在学生书桌上还摆着几瓶没喝完的果奶，因而该场景成功地激发了学生的探究兴趣，极大地提高了教学效率，锻炼了学生运用数学模型解决实际问题的能力。

（三） 几何模型

例题：如图，在直角梯形ABCD中，已知AD=3，BF⊥DC，∠CBF=30°，求边DC的长度。

变式：学校东北角要安装运动器械，计划砍掉一棵树AB，在地面上事先划定以点B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区域，某工人站在距离B点3米远的排球评分台CD顶点，在C处测得树顶端A的仰角为60°，树的底部俯角为30°。问距离B点8米的同学是否在危险区域内。

例题是一道比较经典的梯形求边的几何题目，这个题目同学在习题中经常遇见。但该题目作为数学模型，其抽象性较强，如果教师在教学中，仅仅是以数学模型的方式教学，无法实现让学生学会如何运用几何模型解决实际问题。笔者以学校最近的伐树工作为案例，将该题目变式为相关于校园伐树，求安全距离的场景。该场景涉及学生的安全，并且源自于校园最近发生的事情，因而能够有效激发学生的学习兴趣。该变式趣味性强，情境性高，因而在教学中的应用，让同学们把握了几何模型与生活实际之间的联系，提高了学生运用数学模型解决实际问题的能力。

综上所述，初中数学教学中数学模型的具体应用中，教师一定要确保对教学情境的选择和应用，符合学生的生活实际。只有这样，才能最大化地发挥模型思想的作用，才能激发学生的探究积极性，让学生学会如何使用数学模型来解决实际问题，实现提高学生数学应用能力的目的。

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