罗珊珊，赵临龙

摘 要：文章对三点共线的帕普斯定理及其应用进行研究，旨在提高学生对定理的深入理解和认知，并学会灵活运用，进而培养学生的逻辑推理能力和思维能力。在教学中，教师要深入钻研和理解定理的实质，开展好定理教学活动。

关键词：三点共线；帕普斯定理；应用；思维能力

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2018）01-0086-01

帕普斯是古希腊数学家，有大量着作，但只有《数学汇编》保存下来。《数学汇编》对数学史具有重大的意义，它对前辈学者的着作进行了系统整理，并发展了前辈的某些数学思想，保存了很多古代珍贵的数学资料。本文对三点共线的帕普斯定理及其应用进行研究，旨在提高学生对定理的深入理解和认知，并学会灵活运用，从而培养学生的逻辑推理能力和思维能力。

一、帕普斯定理

【帕普斯定理】如图1：直线l上依次有点A，B，C，直线l′上依次有点A′，B′，C′，设AC′×A′C=M，AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，则M，N，L共线。

证明：如图1：设A′B×B′C=P，PA′×A′C=Q，PB′×AC′ =R，则在△PQR中，由Menelaus定理，得：A′C为截线， ■■■=1，B′A为截线， ■■■=1，C′B为截线，■■■=1，则■■■ ■■■■■■=1（1）。此时，在△PQR中，AC为截线，■■■=1，A′C′为截线，■■■=1则■■■■■■=1 （2）。由（1）÷（2），得：■■■=1，即M，N，L共线。现在，考虑直线MNL与直线l、l′的关系。如图2：设AA′、BB′、CC′共于点O，△AB′C与△A′BC′的对应顶点连线交于点O，由Desargues定理，得对应边交点：AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，与l、l′的交点共线。

【帕普斯特殊定理1】如图2：直线l上依次有点A，B，C，直线l′上依次有点A′，B′，C′，设AC′×A′C=M，AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，且AA′、BB′、CC′共于点O，则M，N，L共线于l、l′的交点。

【帕普斯特殊定理2】如图2：直线l上依次有点A，B，C，直线l′上依次有点A′，B′，C′，设AC′×A′C=M，AB′×A′B=N，BC′×B′C=L，且M，N，L共线于l、l′的交点，则AA′、BB′、CC′共点于点O。

特例，AA′、BB′、CC′平行的必要充分条件是：直线MNL平分线段AA′、BB′、CC′。因为，梯形的对角线交点、两腰延长线交点与两底中点四点共线。此时，在梯形AA′B′B、B′BCC′中，直线MNL平分线段AA′、BB′、CC′。

二、帕普斯定理应用

例1：四边形ABCD被EF分成两个四边形ABFE和EFCD，求证三个四边形ABCD，ABFE，EF的对角线交点P，Q，R三点共线。证明： 因为A，E，D是一直线上的三个不同点，B，F，C是另一直线上的三个不同点，则由帕普斯定理，可得AC×BD=P，AF×BE=Q，EC×DF=R三点共线。

例2：四边形ABCD，其中AB×CD=X，AC×BD=Y，BC×AD=Z，设XZ分别交AC，BD于E，F，求证XY，BE，CF共点。证明： 因为B，Y，D是一直线上的三个不同点，X，E，Z是另一直线上的三个不同点，且XB、EY、ZD共点于点A，则由帕普斯特殊定理1，可得交点：XY×BE=O，BZ×XD=C，BD×XZ=F三点共线，即XY，BE，CF共点。

例3：在四边形ABCD中，设AB×CD=E，AC×BD=F，连接EF，在其上任取一点M，求证AB×CM=P，BM×CD=Q，AD×BC=R三点共线。证明： 因为P，B，A是一直线上的三个不同点，Q，C，D是另一直线上的三个不同点，且交点：PC×BQ=M，BD×AC=F，AP×QD=E三点共线，则由帕普斯特殊定理2，可得PQ、BC、AD共点于点R，即P，Q，R共线。

例4：已知直线a、b以及a、b外一点P，求作通过点P和a、b交点的直线（a、b直线所在区域有障碍物，交点无法求得）。作法： 任作两直线l、l′，l分别交a、b于点A和C，l′分别交a、b于点C′和A′，连接A′P交直线l于点B，连接AP交直线l′于点B′，连接BC′×B′C交于Q，则直线PQ为所求直线。证明：因为A，B，C是一直线l上的三个不同点，A′，B′，C′是另一直线上l′的三个不同点.则由帕普斯定理，可得A′B×B′C=P，BC′×B′C=Q，AC′×A′C =a×b共线，即PQ通过a、b的交点。

三、帕普斯定理待研究问题

在帕普斯定理证明中，取△AA′N和△CC′L，若证明两三角形的对应顶点连线AC′，A′C，NL交于一点，则由Desargues定理，应该证明两三角形对应边的交点：AA′×C′C，A′N×CL，NA×LC′共线，但至今未给出具体证明。

参考文献：

[1]周振荣，赵临龙.高等几何[M].武汉：华中师范大学出版社，2013.

[3]于晓明.利用高等几何知识解决中学几何点共线和线共点问题探析[J].齐鲁师范学院学报，2012（05）.