刘生贵
[摘 要]数学概念是建构数学理论大厦的基石，是学生进行数学思维的核心和基础。学生在解决计算、证明、作图等具体数学问题中无时无刻不用到数学概念。在课堂教学中，以“变易理论”为教学设计的理论指导，对于那些对学生难于理解的大学数学概念，运用变易图式设计教学，可以有效达到对数学概念关键属性的辨析，帮助学生掌握学习内容，提高教学质量。
[关键词]变易理论;概念教学;大学数学
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2020）12-0108-03
一、变易理论简介
变易理论理论的研究始于是世界着名教学专家、瑞典哥德堡大学的马飞龙（Ference Marton）教授所提出的现象图式学[1]。现象图式学认为，学习一定有其内容， 而每一个体对学习内容的认识都有其个别的独特视野。在这些视野中，有一些能够体现事物本质的关键属性，高明的看法能够辩识这些关键特征：而所谓学习困难就是学习者难以辨识这些关键特征[2]。
变易理论认为我们不能在不变状态中去感知事物的存在价值和性质。没有某方面的变动，事物特性只会是潜在隐藏，这对于认识事物的存在意义并没有帮助[3]。近些年，变易理论得到广泛的传播和研究，在全球享有很高的声誉。目前，已有众多教育工作者将变易理论作为设计教学的指导工具，进行教学的研究和改革，取得了丰硕的成果。但这些研究大多是针对中小学的教学，目前对于大学的教学方面的研究甚少[4-7]。笔者在实际教学中研究发现，变易理论同样可以应用于大学数学的教学设计，并取得很好的教学效果。
数学概念是建构数学理论大厦的基石，是学生进行数学思维的核心和基础。学生在处理计算、证明、作图等具体数学问题中无时无刻不用到数学概念。学习概念性知识有助于发展更高层次的数学思维以解决数学问题。数学概念是比较抽象的，学生学习数学的思考过程大多是把抽象的概念与生活经验相联系，用他们的生活经验去解读抽象的数学概念。为让学生获得清晰的数学概念，教学时应把抽象的数学概念具体化呈现，让学生经验变易图式及反思学习数学概念。所以说，数学概念的学习是基于变易的。
在大学数学课堂教学中，很多老师都会觉得，只要把问题讲得很详细、很清楚，学生便会得到跟老师一样的理解。然而事实上的结果常常与假设相差甚远，这让老师们感到非常困惑。老师们常常会把这些归因于学生的学习动机或数学基础、天赋能力。
下面是笔者在给工科学生上高数的不定积分的概念时，遇到的一个小插曲。
定义：定义在区间I上，[f（x）]的带有任意常数项的原函数，称为[f（x）]在区间I上的不定积分，记作[ f（x）dx]。即，如果[F（x）]为I的一个原函数，则
其中记号[ ]称为积分号，[f（x）]称为被积函数， [f（x）dx]称为被积表达式，[x]称为积分变量。
笔者还是按常规的方法进行这个概念的教学，但在讲完后续课程分部积分后的一次学生交流，让我意识到了教学中的问题。学生问我：“老师，我按下面这样做，结果对不对？”
最初一看到这个问题我感觉很不可思议，但我还是耐下性子问学生为什幺会这样想呢？学生回答说：“因为[（tanx）=sec2x。]”我的天，学生竟然是这样想的！
“变易理论”认为，老师之所以难于明白学生学习的真正困难所在，不了解学生如何思考的和如何学习的，主要原因在于忽略了教学内容的某些关键特征，而这些经常“视而不见”关键特征却是教师习以为常以至于不会特别去处理的东西，这些处于老师盲点的关键特征恰恰便是造成学生学习困难的主要原因[8]。
二、基于变易理论指导下大学数学概念的教学设计
变易理论认为，要认识某个事物，就必须注意到这个事物与其他事物之间的不同之处。为了注意这个事物与其他事物在某个属性上的不同，这个属性就必须在某个维度上发生变化。在所有其他属性都保持不变的情况下，这个差异才可以被识别出来[3]。将这一理论应用于课堂教学实践，通过设计适合学生学习的变易图式进行教学，帮助学习掌握学习内容的关键特征，对于提升学生学习素质，尊重学习过程中的个体差异具有非常重要的意义。
变易理论应用于课堂教学，主要体现为对学科教学内容的处理，而不是教学活动形式的选择与组织[9]。在运用变异理论设计教学过程中，教师首先必须清楚学生应区分哪些关键属性，能辨出是哪些特征有可能导致学生在学习过程中出现困难。但很多时候，教师跟学生一样，还未能对教材有足够的认识，也未能区分出这些关键特征，或者某些关键属性对于教师来说并不困难，或由于太习以为常而把它忽略。只有诊断学习困难并确认学习内容的关键属性，才能为教学设计提供有效的依据。常见的方法是对学生进行访谈，以了解学生的想法，或设计一个前测问卷调查，借以诊断该群学生的学习难点[10]。只有对学生的学习困难所在以及教学内容的关键属性有深入的了解，运用变易图式进行教学设计才具有针对性。
运用变易理论设计教学的一般过程如右图。下面分别以函数的连续性和不定积分的概念为例，简要介绍一下变易理论在数学概念教学设计上的应用。
（一）连续函数概念的变易教学设计
函数是高等数学的主要研究对象，而极限作为其主要的研究方法，连续性则作为研究函数的桥梁，由此可见连续性概念对高数学习的重要性。很多时候，老师虽然自认为把这个概念讲得非常清楚了，但从课后访谈和作业情况来看，仍有很多这个学生对理解并不透彻，掌握不好。
定义 设函数[y=f（x）]在点[x0]的某个领域有定义，如果函数[f（x）]当[x→x0]的极限存在，且
则称函数[y=f（x）]在点[x0]处连续。
在进行研究前期，为了更好地了解学生状况，笔者所带的课题组对该问题进行了前测与访谈。测试对象主要是已学过该内容的大一与大二学生，其中既有数学专业学生，也包含非数学专业的学生。前测问卷如下：
A. 完全理解这个概念，能结合实际判断函数的连续性;
B. 有些理解，但不透彻，对一些复杂些的函数难于判断函数的连续性;
C. 似懂非懂，不大明白函数连续应具备的三个条件;
D. 完全不理解这个概念。
课题组共收回有效问卷123份（人次），其中数学专业99份（人次），非数学专业24份（人次）;这123人中有大一的学生55人，有大二的学生68人。收回的问卷情况如下。
由上表可知，虽然学生已经学习过函数连续的概念，但仅有13.8%的对这个概念有比较透彻的理解，而似懂非懂或理解比较模糊占比超过了百分之八十，这个结果大大出乎老师的意外。
通过对教学内容的分析与讨论，结合与学生访谈情况，研究小组确定连续函数的关键特征如下。
关键特征1：函数在点[x0]的某个领域有定义。
关键特征2：函数[f（x）]当[x→x0]的极限存在。
关键特征3：函数[f（x）]的极限[limx→x0f（x）]必须等于[f（x0）]。
为让学生更好地突出和辨析这些关键特征，依次设计如下变易图式。
变易图式1：
变式例题1 考察下列函数在[x=0]处的连续性。
变易图式2：
变式例题2 考察下列函数在[x=0]处的连续性。
变易图式3：
[变 不变 审辨的关键属性 函数在某点的值 函数的部分表达式 函数在某点连续，在该点的极限必须与该点的函数值相等. ]
在用变易图式对两个实验班完成教学后，对该部分学生进行了后测，问卷如前。课题组共收回有效问卷98份（人次），结果如下。
由后测结果可以看到，选择A（理解这个概念，能结合实际判断函数的连续性）的人数所占百分比大幅提升至79.7%; 而问卷回答选B、C、D，即不能很好理解这个概念的人数所占百分比大幅下降至21.3%。可见，运用变式（变易）教学效果显着。
（二）不定积分概念变易的教学设计
[被积函数][积分变量]
这是个非常重要也非常基础的概念，如果这个概念理解不透彻，不仅会导致后继的换元积分法和分部积分法产生学习困难，还将影响整个大学数学的学习。这个概念表面看起来并不难懂，多数老师在讲这个概念时都会熟视无睹轻易带过，认为学生也能很容易弄懂，但事实上并非如此。学生在学习积分法时感觉很难，很大原因就是对不定积分概念的理解并不透彻，关键属性被忽略，前面笔者所介绍的教学交流小插曲正印证了这一点。
据与学生访谈与分析，研究小组认为不定积分的关键属性有下面两个：
关键属性1：积分函数。
关键特征2：积分变量。
在设计教学时，为让学生更好辨析关键属性，依次作如下变易图式。
变易图式1：
变式例题4 求下列函数的不定积分。
为了帮助学生克服忽视积分变量，更好地辨析关键属性2，为后面换元积分扫清障碍，设计了如下变易图式2：
变式例题5 求下列函数的不定积分。
由例5，学生会发现，被积函数一样，当积分变元变化时，求得的原函数是不一样的，学生对不定积分的定义会有新的认识，为后继课程的学习打下良好的基础。
三、结语
学习离不开对事物差异的感知。没有事物属性的差异变化，则学习者很难获得对事物属性真正全面且深刻的理解。变化事物不同的属性组合，可以有意突出事物中处于学习者“盲点”的某些属性，并与其他属性区分开，引导学习者关注同一事物的各方面的特点，从而学会从不同的角度来认识同一事物。
有别于其他教学理论，变易理论应用于课堂教学，主要体现为针对学科教学内容的加工，而不是教学方法的选择或教学的组织。以“变易理论”为理论指导，在教学中通过设计变易图式来帮助学生克服困难掌握学习内容，可以有效改善我们的教与学。卢敏玲教授和孙旭花教授在实证研究中发现，运用变易理论指导教学可以简单概括为：找出教与学之间的关系，抓重点，找难点，用变易图式突显学习内容的关键特征，是行之有效的教学手段[11]。
[ 参 考 文 献 ]
[1] Maton F. Sameness and Difference in Transfer[J]. The Journal of The Learning Science，2006，15（4）：499-535.
[2] 梁玉麟，劳傅燕华，江巧妍. 数学课堂学习研究实践与数学基本概念的教学[M].合肥：安徽教育出版社，2011.
[3] 郭永贤.课堂学习研究概论[M].合肥：安徽教育出版社，2011.
[4] 陈红兵. 创设有效的学习空间：变异理论视野下的课堂教学[J]. 教育学报，2013（5）：52-60.
[5] 高宝玉，卢敏玲，庞永欣，等. 课程决定的实践历程：课堂学习的个案研究[J]. 当代教育科学，2009（18）：4-9.
[6] 从立新.步步为营：运用变异理论指导教学操作步骤[J]. 教育学报，2013，9（5）：68-74.
[7] 陈建翔. “变易理论”对传统迁移观的超越及启发[J]. 中国教育学刊，2009（1）：30-33.
[8] 卢敏玲.变易理论和优化课堂教学[M].合肥：安徽教育出版社，2011.
[9] 易进. 课堂要为学生学习创造条件：变异理论运用于教学实践的探索与思考[J]. 课程·教材·教法，2014，34（6）：104-109.
[10] 李树英，高宝玉.课堂学习研究实践手册[M].合肥：安徽教育出版社，2011.
[11] 卢敏玲，孙旭花. 教如何有助于学：一个概念的教与学关系之实证研究：香港课堂学习研究课的启示[J].当代教育科学，2011（10）：25-29.
[责任编辑：林志恒]
