颜鲁晓
［摘 要］ 随着教育理念不断更新，教学改革不断推进，一流课程、一流课堂逐渐兴起。在教学中，教学与育人并重。学生作为学习的主体，教师作为引导者，激发学生学习兴趣，培养学生自主学习、探究以及解决问题的能力尤为重要。通过几个案例，介绍几何画板积件的制作过程，通过几何画板突破传统教学方法演示旋转曲面如何旋转、微元法中分割和极限思想，化抽象为直观形象，将静态变为动态，将数学思维可视化，以提高课堂教学效果。
［关 键 词］ 高等数学；几何画板；课程思政；可视化
［中图分类号］ G642 ［文献标志码］ A ［文章编号］ 2096-0603（2023）02-0025-04
2022年1月，全国教育工作会议在北京圆满召开。会议强调，现代教育应该全面贯彻新发展理念，服务建构新发展格局，坚持和加强党对教育工作的全面领导，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，着力转变观念、守正创新、攻坚克难、守住底线，加快教育高质量发展，推动教育现代化，建设教育强国，办好人民满意的教育，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。[1]这对我们现在的教育提出了更高的要求。在日常教学中，教书与育人并重，目标的设计要具备高阶性、创新性、挑战度，满足“两性一度”的要求。教学应该由简单的知识灌输式传授，转变为知识、能力、素质相结合，培养学生应用所学知识解决实际问题的综合能力、高级思维以及引导学生树立正确的情感价值观的教育模式。同时，课程内容要具有学科前沿性和时代性，教师的教学模式与方法应体现先进性和互动性，学生的学习过程应具备自主性、探究性和个性化，课堂要有留白，内容要有一定高度，留给学生思考的时间。
数学基于其本身的抽象性、逻辑性，教师在教学过程中一般以教定学、以本为本、教路单一、学法单一、目标单一、问题单一、评价单一，传统的教学方法在一定程度上不能很好地展现数学知识所特有的动态性和抽象性，这就需要教师开发研究适合数学特点的可视化教学工具[2]。现代教育技术的发展，给我们提供了更加方便的教学与学习技术，同时使教与学不再受时空限制。现阶段，就高等数学而言，学生难学、教师难教这一问题比较显着，已经成为师生共同关注的话题之一。要想确保学生学习效率稳步提升，达到“两性一度”的教学目标，就要加强数学教学软件的应用。为了将数学问题充分描述出来，在教学过程中，加强数学软件的应用，对当前教学过程中存在的问题进行简化，可充分激发学生学习数学的积极性和主动性，而且数学软件的直观性和针对性比较强，可以促进学生对知识的理解。总之，在高等数学教学中，加强数学软件的应用，可以将学生的主观能动性充分激发出来，为取得良好的教学成果奠定坚实的基础。
目前，在高校的高等数学教材中配备且教师比较熟练掌握运用的数学软件有Mathmatica、Matlab、Maple等，这些软件偏重于编程计算，想要实现某个计算，需要应用者首先完成编程，操作性不强，直观性较差，教学中使用起来有一定的困难，尤其是对于没有编程基础的学生来说更复杂[3]。而几何画板软件就像一个电子工具收纳盒，其对系统的硬件环境要求低，制作的积件体积小，且便于重组，不需要编程，界面上拥有工具栏和菜单栏，通过工具栏、自定义工具可以快速完成简单基本图形的绘制，还可以通过编辑、显示、构造、变换、绘图等菜单栏按钮，绘制复杂绚丽动态的目标图形，完成“数”与“形”的完美结合，实现教学过程中图形和数据方面的直观表达，将抽象的数学论述可视化，形象、直观、动态地展示数学知识。工具栏下有一个脚本功能可以记录整个积件的制作过程，并用复原和恢复进行浏览，便于后续的使用和修改。几何画板软件的主要功能有绘制函数、几何图形度量计算、动画、迭代等，尤其是在动画过程中，能保持和突出几何关系，这是数学的精髓。[4]因此，利用几何画板制作演示图非常便捷，一方面适合教师修改、重组成新的课堂教学课件，进行动态演示讲解；另一方面适合学生利用积件进行高等数学的自主学习和探究。这一过程不但将数学知识的原理、数学的精髓展示出来，也在润物无声中完成思政育人目标。下面以高等数学中的几个案例说明几何画板积件的制作过程。
一、旋转曲面
曲面在解析几何以及高等数学中占有一定比例，而对于曲面的研究一般有两个基本问题。一是已知一个曲面作为点的几何轨迹时，如何建立曲面方程；二是已知x，y和z间的一个方程关系式时，研究这个方程所表示的曲面形状。前者已知图形，找到图形特点，设出x，y，z建立函数关系式即可。后者需要通过抽象的表达式画出图形，这就比较复杂、困难了，因此，教师需要借助数学软件工具将其可视化，展示给学生。
在学习曲面时，高等数学教材中罗列了大量的曲面，比如椭圆锥面、单叶双曲面、双叶双曲面以及马鞍面等各种旋转曲面、柱面、二次曲面。学生不仅要了解旋转曲面是如何形成以及所对应的方程，还要了解图形的几何构造，这对学生后续的学习及应用而言有着重要作用。在学习曲面这一章节时，不同曲线围绕不同直线旋转得到不同的图形，因此演示整个图形的形成过程，能够让学生清晰认识不同曲面的差别。下面以双曲线绕z轴旋转为例，介绍几何画板绘制单叶双曲线的制作过程。
（1）将yoz平面上的双曲线，绕z轴旋转一周。
（2）建立空间直角坐标系。利用圆工具，绘制以原点为圆心的单位圆。在圆上任取一点A，过A点做x′轴的垂线i，交x′轴于点B。以B点为标记中心，将A点旋转-45°得到点A′，再将A′点以B为中心缩放为原来的得到点A″。隐藏点A″，依次选中A′，A″点击<变换—创建自定义变换—斜二测—确定>。依次选中A′，A″，构造轨迹，得到椭圆。选择A″与原点构造直线j，改名为x，得到三维直角坐标系的x轴。选中原点与x′轴，构造垂线，得到z轴。隐藏点B和直线i。将点A以原点为中心旋转90°得到点A′，<变换—斜二测—确定>得到点A″，用直线连接原点A″与得到轴y。再将其将z轴与圆的交点名称设置为1，表示单位长度。
（3）利用菜单栏<计算—新建参数>，建立参数a，b分别作为双曲线的实轴和虚轴的长度。
（4）为了便于观察，绘制一定区间内的函数图象。选取定义域，在y轴上任取两点M，N，选取M，N两点构造直线，直线覆盖的点即为构成的定义区间。在区间上任取点F，作为动点，顺次选择原点、y轴正方向上的单位点和F点，度量比值，将标签改为yF。利用<数据—计算yF>所对应的函数值zF=和-zF=
（5）选中zF，变换标记为比值，双击原点标记为中心，选择原点、z轴正方向的单位点，按照zF比例缩放，得到点p。顺次选择原点与p点，<变换—标记向量>，选择点f按照标记向量op进行平移，得到点F′。同样，将-zF标记为比例，将单位点以圆心为中心缩放得到点p′，依次选择原点和点p′标记向量，再将点F以向量op′位移得到点F″。
（6）选择点F′和点F，构造轨迹；同样，选择点F″和点F，构造轨迹，就可以得到分别以a，b为实轴和虚轴，位于yoz平面的双曲线方程。
（7）选择轨迹，<显示—追踪轨迹>，当点A旋转时，就得到单叶双曲面，如下图1所示。
二、定积分定义
定积分在高等数学中所占比例较大，其在整个数学史上都占有重要地位。定积分的内容十分丰富，其应用也十分广泛。这种“和的极限”的思想对物理学、医学、经济学、工程技术和其他知识领域以及人们的生产生活都产生了深刻的影响。定积分概念学习困难的原因之一是概念复杂冗长，思维方法以及理论体系高度抽象，对于初学者而言，这与他们的认知水平发展不符，无法达到“跳一跳”就能够到的水平。根据建构主义教学观，学习者是在一定的情境下，借助他人的帮助，利用一定的学习资源，通过意义建构的方法学习新知识。[5]教师要运用恰当的教学技术、方法和手段，与学生恰当的个人学习风格相适应，然后将合适的技能在适合的时间传递给学生。因此利用先进的技术，将微积分概念中涉及的数学问题、思维方法的整个思考过程用数学软件描绘出，以形象、直观的动态图演示出来，是契合学习者认知水平，也是向学习者提供优质的学习资源，更是开展探究式学习，培养学生自主学习能力和创新思维的重要途径之一。[5]教师用传统教材中刘徽“割圆术”做铺垫，虽能增强民族自豪感和文化自信，但是缺少贴合学生实际的背景，教师若借助信息技术演示割圆术的过程和定积分“和的极限”思想，学习者便可以通过观察整个演示过程，获取相关的视觉资料，更加全面深刻地理解。还可以利用交互技术，从不同的角度，多次重复观察探索，帮助学生积累更多的实操认知，借助自然语言，反复推敲理解数学语言、思想方法。
借助几何画板来演示定积分定义的形成过程。
（1）利用绘图定义坐标系，绘制函数图象f（x）=x2，选择原点A与单位1处点B构造直线AB，度量A，B横坐标，选中点A、B，<度量—横坐标>，得到横坐标xA，xB计算A，B所对应的纵坐标并画出所对应的函数值点，<数据—计算—f（x）=x2—xA>得到点A横坐标所对应的函数值yA。顺次选中xA，yA，<绘图—绘制点（x，y）>，绘制点A所对应的函数值点C，同样的操作过程，绘制点B所对应的函数值点D。
（2）设置参数n，建立参数动画，计算n-1，。
（3）利用迭代对区间进行等分。将点A标记为中心，双击A或者选中A<变换—标记中心>，以标记比为缩放比例，<选中—变换—标记比例>，顺次选中A，B，<变换—缩放—固定比例—确定>，将点B进行缩放的到点B′。
（4）选中点B′，<度量—横坐标>求出点B′的横坐标xB′，选中xB′横坐标，<数据—计算—f（x）=x2—横坐标xB′得到点xB′所对应的函数值的纵坐标yB′>。顺次选中横坐标xB′，yB′，<绘图—绘制点（A，B）>，绘制点B′所对应的函数值点E，绘制出曲线上的点E，连接点B′、E作直线B′E。
（5）过点C做B′E的垂线j，直线j与直线B′E交于点F。隐藏直线j和直线B′E。
（6）顺次选中点B′，F，C，A<构造—四边形内部>。选中内部，选中点A的横坐标，<显示—颜色—参数—0至1—确定>。
（7）顺次选中点A，B，n-1，n，按住shift键，<变换—深度迭代—初像A对应B′，B对应B，n对应n-1>。
当改变参数n的值的时候，我们就可以看到所有的小矩形累积向曲边梯形无限接近[6]，如图2所示。
故在教学中，教师尝试利用数学软件，将整个过程细化，模拟“分割、近似、求和、取极限”四个过程，利用软件仿真作出动态的效果图，随着效果图演示分割的无限细化，无论如何进行分割，也不管如何取近似，所有小长方形的面积之和都会无限地逼近曲线与坐标轴和区间端点直线所围成的曲边梯形的面积，这就是微元法。
微元法思想在日常的生活学习中应用广泛，很多大问题、复杂问题都是由若干个简单问题组合起来的，当我们碰到问题、遇到难题时，可以大胆地将复杂的问题先进行细化，“大事化小”，转化成若干个小问题，分步骤将这些小问题逐个击破，最终再整合，其实也就解决了复杂的问题，这需要我们在问题面前沉着冷静，面对困难有坚持不懈的毅力，不断地探究、思考，利用所学知识合理科学地去分解、解决问题。
三、旋转体体积
定积分的应用十分广泛，在数学中最主要的部分为几何应用，主要是应用定积分求曲边平面图形的面积、旋转体的体积以及平面曲线的弧长。分析解决几何问题，其目的不仅是建立计算这些几何量的公式，更重要的在于介绍将一个量利用元素法表达成定积分的思想与分析方法。在导入时，教师可以通过简单介绍射电望远镜的工作原理以及作用价值，抽象其模型进行导入。射电望远镜外形可以抽象看成是由曲线围绕轴旋转而成，以增强民族自信，提升民族自豪感，激发学生的学习兴趣。讲解时，教师仅单纯利用教材上的几何图形来讲述定积分求旋转体体积较为抽象和枯燥。[7]因此可以根据实例，借助几何画板绘制、演示这种元素法思想。
利用几何画板绘制曲线z=x2围绕z轴旋转而形成的旋转体。
（1）首先如旋转曲面步骤，建立空间直角坐标系，选择x′轴上的单位点、圆以及点A′，<编辑—操作类按钮—隐藏显示>，制作按钮。隐藏坐标轴x′oy′。
（2）数据新建函数f（x）=x2，在x轴任取两点构造直线m，在直线m上任取一点F。顺次选择x轴上的原点、单位点、F点，度量比值，标签改为xF，计算f（xF）=，更改标签为zxF。
（3）将zxF标记比值，以原点为中心，顺次选中原点、z轴单位点，变换缩放。比例为zxF，z轴单位点经过缩放的到点E，顺次选中原点，E点，变换标记向量。
（4）选择点F，变换平移，平移方向为标记向量OE方向得到点F′。
（5）顺次选择点F′、F，构造轨迹，就可得到xoz平面上的曲线z=x2，将轨迹颜色设置为浅灰色，在轨迹端点处选择点m、n，构造线段mn，设置为黑色。
（6）选择点A，编辑操作类按钮动画，点A围绕圆旋转。选中轨迹，和线段mn显示菜单栏点击追踪轨迹。当点A旋转时，得到立体图形。
（7）在轨迹上任选两点P、Q，选择P、Q和x轴，构造平行线，交z轴于点P′、Q′，依次选择四点构造内部线段。将线段PQ设置为黑色。选择线段PP′、QQ′、PQ、P′Q′追踪轨迹。当A旋转时得到截段的轨迹图像。如图3所示。
通过几何画板的动态演示，学生可直观地观察旋转体是如何生成的，计算其体积时进行切割、近似。这个效果是传统教学模式无法达到的，使学生不仅能够通过形象的演示理解此题目的求解过程，也可以通过这种视觉化的方式，理解元素法思想，进行迁移式学习，从而达到触类旁通、知一解百的目的[8]。
四、结语
几何画板的应用十分广泛，在高等数学极限定义、微分方程、二重积分以及构建数学模型等方面有着重要作用。教师掌握几何画板这一数学教学软件，并将几何画板应用到日常高等数学课堂教学中，可使抽象数学语言可视化。这改变了过去纯理论知识的灌输式、“填鸭式”教学方式，突破和改善了传统的教学模式，为学生提供了多样的学习方式，培养了学生主动探索、细致观察、发现问题、拆解问题，并坚持研究，不断突破，最终解决问题的能力，同时对高等数学教学的改革和发展也会产生积极的推动作用。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部.加快教育高质量发展［EB/OL］.（2022-01-17）［2022-10-25］.http：//www.moe.gov.cn/jyb_xwfb/gzdt_gzdt/moe_1485/202201/t20220117_ 594937.html.
［2］刘胜利.几何画板课件制作教程［M］.北京：科学出版社，2015.
［3］袁振国．当代教育学［M］．北京：教育科学出版社，2004：187
［4］叶德华，朱溦，周芳芹.微积分中若干概念的可视化教学［J］.产业与科技论坛，2017，16（3）：160-161.
［5］王波，杨耘，张文.几何画板软件在两个重要极限教学中的应用研究［J］.电子测试，2013（23）：215-216.
［6］郑凤林，周慧琴.几何画板迭代功能在高等数学中的教学探讨［J］.教育现代化，2020（3）：136-138.
［7］施永新.例析用几何画板的深度迭代功能制作数学课件［J］.中国信息技术教育，2014（5）：85-87.
［8］陈彬斐.《几何画板》在大学数学教学中运用［J］.科技信息，2011（11）：179-180.
◎编辑 马花萍
