楼倩
摘 要：推理是数学核心素养之一，是数学基本的思维方式.初中阶段的推理按类型分为几何推理和代数推理.很多初中数学教师注重几何推理，而忽视代数推理，从而导致在教学过程中缺少对学生代数推理能力的培养.为后面更长远的学习带来阻碍，也无法提升学生的数学核心素养.本文从代数推理的现状、推理之间的关系及代数推理能力的培养策略三部分进行探析.
关键词：代数推理；初中数学；核心素养
新课程标准中指出，发展学生的推理能力是数学教学的重要任务.推理能力的培养是一个需要在不同阶段有意识地蕴涵渗透、循序渐进的过程.初中阶段，教师在几何教学中都很注重学生推理能力的培养，主要是由于以图形为载体的几何推理，形象直观，符合初中学生的认知特点.而在代数教学中，注重的只有“数学运算”这个核心素养，代数推理侧重于“数与代数”中的运算、变形、性质等内容，比较抽象，经常被忽视.事实上，代数推理更能反映学生逻辑思维能力的层次，而且在高中阶段的数学学习中对学生代数推理能力的要求较高.因此，在初中阶段培养学生代数推理能力是一个重要的任务.
1 代数推理的现状
1.1 推理意识的“弱化”
初中阶段的代数推理知识集中体现在“数与代数”中的数与式、方程、不等式、函数等方面，这些内容并没有像几何推理那样专门设置“证明”的章节，而是分散在各册教材中.所以如果教师没有有意识地培养学生的代数推理能力，在教学过程中弱化代数推理过程，学生便不会有意识地发现在初中阶段的学习过程中其实都蕴涵着代数推理，进而学生的代数推理能力的培养就很难加强.
从上表可以看出，内容分布在七年级、八年级及九年级上册.随着年级的提高，代数推理知识的内容所占的比重呈现下降趋势.但相应内容在抽象程度上的要求却呈现上升趋势.从代数推理能力培养的角度来看，可以发现教材编排意图是蕴涵渗透逐级递增.这就需要初中数学教师在教学中有意识地去培养学生的代数推理能力.不能让学生学完初中数学，还不知道什幺是代数推理.
1.2 数形结合“偏于形”
不同学段有不同的知识储备、身心发展和经验积累.很多初中数学教师认为代数推理初中生难以理解，是属于高中数学教学范围.初中生只要将几何推理学好就行.而高中数学教师认为初中阶段对学生的代数推理渗透较少，导致学生的代数推理能力较弱，使得初高中代数推理衔接不良.
这其实都是片面的认识.事实上，初中阶段，学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们的认知能力正处于由感性认识到理性认识发展的阶段.他们已具备一定的抽象思维能力，可以感悟推理的逻辑性.要做好初高中代数推理的衔接的教学，作为初中数学教师应充分认识代数推理对发展学生思维、推理等能力及提高数学核心素养的价值，有意识地在教学过程中渗透代数推理.
1.3 简略运算“取代”推理过程
运算的应用环节是代数学习中十分重要的环节，也是代数演绎推理过程的主要体现形式.但初中数学教师和学生并未感受到完整的演绎推理过程.究其原因，一方面是由于师生大多将运算过程简单地等同于代入公式或利用法则运算，并没有把其视为演绎推理的过程.另一方面是由于教材设计和教学实施过程中，几乎都采用了简化的过程，代数推理的过程展开不够.而且教材中很少有例习题专门训练或考查学生的推理能力，这样师生就很难体会到其中的演绎推理过程.
2 代数推理
2.1 代数推理与推理的关系
代数推理是推理的一种类型，初中代数推理是将代数式（或关系）变形为特定的目标结构（或关系），或用代数方法证明（或说理）.从知识上说，代数推理“涵盖初中数学中代数式、方程、不等式、函数等代数内容，有时还涉及图形与证明问题”；从策略方法上说，有转化、模型、特殊到一般、类比、归纳、演绎、消元、降次、整体等.
代数推理是从条件出发，由代数定义、代数公式、运算法则和运算律得到结论（特定的目标结构或关系）的一种交形与转化.因此，代数推理符合一般推理的特点.代数推理也分两种方式，一种是从特殊到一般的归纳推理，另一种是从一般到特殊的演绎推理.一个严格的推理过程，一般应包括从合情推理到演绎推理的全过程.从归纳、类比得到相关法则、规律之后，要进行较为严格的演绎推理.要让学生感受到这一完整的推理体验，丰富学生对于代数推理的经验.并引导学生开展相关的推理活动.
2.2 代数推理与几何推理的关系
代数推理与几何推理都具有归纳和演绎的特点，都有逻辑性、形式化特征.代数推理侧重“数”与“式”的变形与转化，具有一定的抽象性；几何推理侧重于图形的位置与数量关系的转化，具有一定的直观性.在一定条件下代数推理与几何推理可以互相转化，几何推理的方法可以运用于代数推理，“数”或“式”的问题可以转化为“形”的问题，“形”的问题可转化为“数”或“式”的问题.初中阶段很多数学学习，对于数学知识的获取和认识是通过图象获得的，例如函数单元.如果能够通过代数推理让学生以数推形，理解数与形的一致性，不仅发展代数推理能力，还有助于学生对于数学知识理解更加全面、立体，达到真正的“数形结合”.教会学生有效推理，使不同层次的学生获得不同层次的发展.
2.3 代数推理与代数运算的关系
代数运算的目标是“最简”，根据公式和运算法则进行的演算活动.代数推理以代数运算为基础，既具有推理的特征，也具有运算的特征.从某种意义说，代数运算本质上也是演绎推理.代数演绎推理过程是三段论的推理模式，即大前提，小前提，小结论.大前提一般是指推理的依据的原理、公理、定理等.如果所有的代数运算中都完整地展示，过程较为拖沓，师生难免厌烦，而且算式也不连贯，所以教材做了简化.随着学习的深入，大前提已经完全掌握，要求学生每次都要写，难免会产生厌烦情绪，而且易于形成思维的阻碍，因此将大前提放在括号中，为后续删减提供了便利.等学生熟悉之后，不再作出此类要求.这样做，不仅减轻了学生的负担，而且可以将重心放在帮助学生理解和尽快熟悉新学习的有关知识上.让学生充分感受到代数推理的严谨性，养成学生言之有据的习惯.
3 代数推理能力培养策略
3.1 推理过程外显完整化
3.1.1 演绎推理完整化
要激发学生的数学学习兴趣和探索热情，就要求教师精心设计教学环节，回归学生的认知，回到数学的知识本位.关注学生数学学习的深入程度与数学思维的发展，关注数学知识的内在联系与整体性，对学生代数推理能力的培养尤为重要.
在浙教版七上《2.3有理数的乘法》这节由“位于三峡白鹤梁的用做水位测量标志的线刻石鱼”的实际情境导入，学生很顺利能够完成“两个正数相乘”和“一正一负相乘”的情况.但学生在学习有理数乘法法则时最大的难点在于“两个负数相乘”的情况.实际上，“负负得正”并非缘于现实情境，所以继续用实际情境提问就不符合实际情况，学生难以理解.教师这时可以引导学生进行演绎推理，提出将负数拆成两个正数相减的方式，满足分配律推理可以得到结果.然后总结两个负数相乘的规律.从特殊到一般，这样的引导是建立在学生已有的数学知识上，帮助学生建立了新知识与已有知识的自然联系，教学效果明显优于现实情境的直接导入所有内容.演绎推理的深入引入给出了充分的探析过程，让学生充分开展演绎推理活动，培养学生代数推理能力.
3.1.2 加强合情推理与演绎推理的融合
在教材设计的运算法则和运算规律、公式的探究环节中，大部分都是合情推理.而一个严格的推理过程，一般应包括从合情到演绎的全过程.但在实际教学过程中，教师往往在归纳、类比得到有关法则、规律之后便没有进行较为严格的演绎推理.因此很多法则、规律及公式的探究仅仅停留在合情推理的层面.例如在浙教版八下《1.2二次根式的性质（2）》中学习二次根式的性质时，教材设计以下问题：
下面我们继续探索二次根式的性质.
填空（可用计算器计算）：
先让学生用计算器计算四组具体数的运算，然后让学生猜想规律，这是一个合情推理的过程.但教材没有再进行后续的演绎推理.实际上这个二次根式性质的证明可以根据算术平方根的概念和记法给出证明.这样就能实现合情推理到演绎推理的完整过程.当然，这是在学生学有余力的情况下，让学生经历这个闭环，养成严谨的思维习惯.让学生对于代数推理有一个完整的认识，而非只停留在合情推理，更有利于培养学生代数推理的能力.即使有时学生能力不允许进行严格证明，也可以通过举例或对其他知识的适度类比等方式对合情推理的结论予以进一步解释，加深学生对知识的理解.
3.2 加强数形结合
3.2.1 化“形”为“数与式”
代数推理可以运用几何推理的方法，“形”的问题转化为“数”与“式”的问题.代数推理侧重“数”与“式”的转化，具有一定的抽象性.教学中应关注如何引导学生通过代数推理达到真正的“数形结合”.
教材基于课程标准的要求，没有相关的例题做示范来刻意发展学生代数推理能力.考虑到“人人都获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”这一理念.教师可以对教材中的内容做适度拓展，让能力较强的学生得到提升.在学生学习了二次函数的相关知识后，可以让学生继续通过代数推理的方法研究二次函数的形状、对称性、增减性和最值等性质.提出二次函数的图象是一条抛物线，为什幺不是一条直线.让学生尝试说明理由，如果学生觉得困难，提醒学生从最特殊、最简单的二次函数y=x2开始进行说理.学生第一反应就是画图，在函数图象上取三个点发现这三个点不在同一条直线上.提醒学生这还是从“形”的角度观察发现的，能不能从“数”的角度进行说理.学生想到可以三个点中取两个点求出直线解析式，发现两条直线不一样，说明三个点不在同一直线上.学生经过多种方法从“数”的角度进行思考解决说理，理解了函数图象与函数关系式的联系，从而更加深刻地理解函数的基本性质，发展了学生的代数推理能力.
3.2.2 化“数与式”为“形”
代数推理的抽象性决定了其教学的困难性.初中数学教学中，要精心设计教学情境和教学活动，将代数问题通过图形直观加深理解.
在浙教版七下《3.3多项式的乘法》中，学生学习多项式相乘的法则时，先创设问题情境，一间厨房的平面布局如图，我们可以用下面几种方法表示厨房的总面积？
说明多项式与多项式相乘出于解决实际问题的需要，并说明法则的合理性.通过用不同方法计算同一矩形的面积，所得结果相同，（a+n）（b+m）=a（b+m）+n（b+m）=m（a+n）+b（a+n）=ab+am+bn+mn.这样的结论通过图形直观加以解释，然后用分配律来进行代数推理得到结果，加深学生对多项式相乘法则的理解.
3.3 在运算中夯实代数推理之基
3.3.1 恢复被简化的演绎推理过程
代数领域中的演绎推理主要体现在运算的应用环节，但实际上在学习过程中师生并未感受到其中丰富的演绎推理.由于教材设计和教学推理过程中，运算过程全部被简化，所以大部分师生将运算过程简单地等同于代入公式或利用法则进行运算，并没有把它视为演绎推理的过程.教师需要把这些被简化的推理过程恢复，让学生充分感悟代数推理.
在浙教版《等式的基本性质》中解一元一次方程教材例题分析5x=50+4x.教材解答：方程两边都减去4x，得5x-4x=50+4x-4x，合并同类项，得x=50.这个求解过程体现演绎推理，即大前提是等式的基本性质，小前提是5x=50+4x是一个等式；结论是在等式5x=50+4x的两边都减去4x，5x-4x与50+4x-4x仍然相等，得到5x-4x=50+4x-4x.但是像这样表述略显啰嗦，所以教材呈现的是简化后的形式.教材把大前提（依据）写在小括号里跟在每步过程的后面其实就是强调代数推理都是步步有据.等到后面熟练后可以改为常态形式，不用再写大前提（见图）.外显推理过程，让推理的过程看得见，让学生充分感受到代数推理的严谨性，培养学生的代数推理能力.
3.3.2 自我纠错思辨，理清代数推理依据
为了让学生理清代数推理的依据，我们可以利用学生平时学习中的一些典型错题，对这些错题进行分析思辨，加深学生对知识的理解，提高学生的代数推理能力.例如浙教版七下《第五章分式的加减》这一节教材中有一道作业题，先化简，再求值：x2x-1+11-x，其中x=-32.有学生第一步就是同乘以（x-1），去分母化成整式进行运算.这个错误就是学生把分式化简与等式变形两种类型的题目搞混了.通过纠错思辨使学生明白分式化简的依据是分式的基本性质，而等式变形的依据是等式的基本性质.在这样纠错的活动中理清代数推理的依据，提高代数推理的能力.
总之，在初中阶段加强代数推理能力是提升学生数学核心素养的必然要求.作为教师最重要的是给学生种下代数推理的种子，让其自然萌发，为学生在今后的代数推理能力的发展上打下基础.培养学生代数推理能力，不仅需要教师对学生进行长期螺旋式渗透教学，更需要学生对数学充满热情，勇于去感悟和尝试.通过数学教育能让学生获得核心素养，就是我们的终极目标.
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