李道选
摘 要：从情境问题入手，运用GeoGebra动态地、可视化地探究解析几何中的一类定点问题.实现学生动手，主动发现情境问题中的定点，归纳猜想结论，并加以证明和运用.通过动态的、可视化的探究活动，激发学生的学习兴趣，促进学生理解数学知识，进而发展学生的数学核心素养.
关键词：动态可视化;核心素养;GeoGebra;定点问题
1 提出问题
问题是数学探究的出发点，没有典型问题设计的课堂就没有活跃的思维，学生带着问题进行探究是建构数学知识的有效手段.在探究过程中，经历数学概念和原理的形成过程，获得数学活动经验，使学生真正成为学习的主体.
问题只是探究的起点，要使探究过程绽放思维的火花，还必须要有精彩的探究过程.精彩的探究过程离不开可视化的探究手段，所谓数学可视化是指应用丰富多样的视觉表征手段，以形象直观的方式呈现数学对象，帮助学习者更好地理解数学、发现数学、建构数学［1］.通过信息技术，用形象的图形、图象、动画等，把抽象的概念、推理、原理或过程，直观形象、具体生动地呈现给学习者［2］，是实现精彩探究过程的有效手段.
在高中数学解析几何板块中，“定点”问题具有很强的综合性，通过此问题的探究，可以有效地提升学生的数学核心素养，同时这样的探究也具有较强的育人价值.在高考命题中，由于“定点”问题的综合性，以此为背景的试题往往具有较强的区分度，符合高考的选才功能.不论是从学习的角度，还是高考的角度，探究“定点”问题都是有价值的.
解析几何中的“定点”问题主要研究几何元素的运动规律以及形与数的联系，传统的教学方式无法实现动态探究，动态数学软件GeoGebra在这方面体现出极大的优势.在新人教版教材中，GeoGebra与数学知识进行了深度融合，学生对GeoGebra也有深刻的认识.本文尝试在课堂教学中，运用GeoGebra动态地、可视化地探究“定点”问题，让学生经历“动态探究—归纳猜想—推理论证—理解运用”的学习过程，体会“从特殊到一般”的重要数学思想.
2 课前准备
本节课安排在圆锥曲线的章末，从学生的认知水平看，掌握了圆锥曲线的标准方程和几何性质，经历过直线与圆锥曲线的相关问题研究，具备研究“定点”问题的必备知识和基本能力.本节课的教学思路：借助空间形式认识直线与圆锥曲线的位置变化与运动规律，建立数与形的联系，构建几何问题的代数模型，运用代数模型解决几何问题.
2.1 编制问题情境
4 价值寻求
运用GeoGebra动态地、可视化地探究问题，在高中解析几何的教学中体现出巨大的优势.解析几何中的图形往往呈现出综合性、动态性、隐藏性，运用GeoGebra可以展示图象的动态变化过程，挖掘图象中的隐藏属性，有效地降低学生的认知负荷，帮助学生建构数学知识.
4.1 有利于发展核心素养
通过经历“动态探究—归纳猜想—推理论证—理解运用—拓展探究”过程，凸显动态直观与数学抽象，对学生的数学抽象和直观想象素养有明显的提升作用.
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养［2］.观察现象，抽象出规律和结构，然后用数学语言予以表征，是发展数学抽象素养的基本途径.本节课运用GeoGebra“动态演示—观察发现—归纳总结—抽象出结论”，让学生在体验学习中发展数学抽象.如果没有GeoGebra的动态演示，只把结论告诉学生，无法让学生体验抽象过程，从而不利于发展学生的数学抽象素养.
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养［3］.本节课的特点是运用GeoGebra创建直观动态的几何图形，应用动态图形来发现数学问题，归纳猜想出结论.整个过程让学生通过动态感知图形的变化形成活动经验，从而构建数与形的关系，进而抽象出结论，此过程既有直观想象素养的应用，也有直观想象素养的提升.
4.2 有利于激发探究兴趣
传统的可视化手段是静态的，对于动态问题的研究往往是靠学生的想象，这对学生的直观想象素养要求太高，不利于激发学生的探究兴趣.而运用GeoGebra能将问题可视化，学生在这样的学习环境中可以动手操作，有效地提高了学生对于数学活动的参与性，进而激发了学生的探究兴趣.
在传统的教学中，由于技术限制，无法做到动态探究，导致学生“死记公式”.这既不能获得基本活动经验，又会使数学变得枯燥无味.高中数学课程标准中明确提出“四基”，包含了基本活动经验，通过GeoGebra实现的动态探究，学生在有趣的数学活动中学习数学，避免了“死记公式”的不良现象，帮助学生通过活动经验记住结论.
4.3 有利于拓展知识
在高中数学课程中，要注重培养学生自主探究，鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题［3］.在本节课的“扩展探究”中，学生可以轻松地探究出“扩展结论1”“扩展结论2”“扩展结论3”和“最终结论”，有效地扩充了学生的知识面，为以后解决问题提供经验.
参考文献：
［1］ 张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略——基于GeoGebra平台［J］.数学通报，2018，57（7）：2124+28.
［2］ 岑健林.可视化教学的研究与探索［J］.中国教育信息化，2022，28（7）：4149.
［3］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：高等教育出版社，2020.
