李霏雯，张鹤扬重庆邮电大学通信与信息工程学院；天津医科大学临床医学院
关于提高投篮命中率问题的探讨
李霏雯1，张鹤扬2
1重庆邮电大学通信与信息工程学院；2天津医科大学临床医学院
本文针对如何提高命中率对其影响因素进行研究。首先通过篮球运动规律及力学原理建立运动员投篮的数学模型，通过定量分析为篮球训练以提高命中率提供理论方法依据。此外，建立正态云模型，通过大量随机实验求得各种情境下不同投篮方式命中率的相对稳态值，此模型主要通过MATLAB编程仿真模拟实现命中率的计算。
投篮命中率；出手点高度；投射速度；投射角度；正态云模型
1 引言
篮球比赛中投篮得分的多少决定了比赛的胜负，而投篮命中率是衡量一名篮球运动员得分能力的重要标志，也是决定篮球比赛胜负的关键。因此，全面地探讨影响投篮命中率的主客观因素对提高篮球训练的可控程度具有十分重要的理论和现实意义。
2 模型假设
①不考虑球的旋转、空气阻力，将篮球出手后的运动视为理想抛体运动；②假设球心的轨迹与篮框中心共面；③篮筐与篮板之间的距离忽略不计；④假设运动员受专业训练，投篮角度、投球力度不会出现较大偏差，且投射角度、速度、高度呈正态分布。
3 投篮数学模型
首先讨论定点投篮模型，以出射角度、水平距离、出手高度为自变量。考虑到出射角度易于训练，出手高度由球员的身体素质确定，出手速度在不同状态下变化较大。可将提高命中率转化为根据球员身体素质寻找最佳出射角度，使出手速度可变范围较大。
本文主要抽象投篮复杂的运动过程，将其简化为篮球直接入筐及经篮板反弹后入筐两种情况。具体分析定点投篮直接瞄准篮筐与篮板反弹两种情况的命中率，确定最佳投篮角度范围，再将投球位置推广至任意一点寻找该点最佳出射角。
设定点与篮筐左/右边缘B水平距离为L1/L2，篮筐直径为d，篮筐垂直高度H，篮球半径为r。球心轨迹方程由篮球初速度v0、v0与水平方向的夹角θ和篮球出手高度h确定。
3.1直接瞄准篮筐
以篮球的出手点为原点，设球心为P，如图1建立平面直角坐标系。
图1 篮球入篮示意图
由抛体运动规律：
g为重力加速度，消去t得：
由图1知，当点P轨迹经过AB时，篮球可视为入筐。设篮球恰好砸中篮筐左边缘A，即轨迹过点(,h+r)，有：
其中v0min为临界条件篮球最小初速度，整理得：
可确定v0min与θ、h的函数关系，实际情况中，球员根据习惯控制h为固定范围，由于球员临场发挥存在波动，v0较难控制，但θ可通过训练把握，因此需确定θ是v0具有较大变化范围，有效提高投篮命中率。即求一θ的值，使得对应v0min最小即可。
3.2篮板反弹入筐
如图2，经篮板反弹后由对称性，将篮球经过A点等效为经过A’点。
图2 篮球经篮板反弹后入筐
只需确定θ的值，使对应v0max最大即可。
因此可通过v0min，v0max确定θ的波动范围，训练时可针对球员习惯的出手高度h设定合理的出手角度θ范围，以提高命中率。
3.3任意位置投篮模型
将定点投篮模型推广至任意位置的投篮，距离篮筐水平距离L1、L2。可通过控制变量L1、L2的取值区间，利用多变量分析将模型进一步推广。
实际上，投篮过程会受防守队员干扰；出手时球的旋转影响球的运动轨迹；碰撞时能量损失速度减小；球员状态起伏等多众多因素的影响。由于数据处理复杂，难以定量分析，在此不对其深入讨论。
4 基于正态云模型仿真计算不同投篮方式的命中率
不同运动员采用不同投篮方式对应于不同的位置L1、L2、篮球的出手高度h、篮球的初速度v0、初速度与水平方向的夹角θ。由于运动员的现场水平发挥具有随机性，引入正态云模型研究各种不确定因素影响下篮球的运动轨迹及命中率。
云模型主要由3个数字特征描述：期望值Ex，熵En，超熵He。
通过仿真实验研究出手高度h、出手速度v0、出手角度θ对投篮命中率的影响规律。
图3 仿真实验流程
4.1投篮影响因素的数学模型
将上文篮球球心轨迹方程式（2）移项整理得：
对（4）（5）式求导并求极值，θ需满足以下两式：
4.2云模型参数的选取
4.3仿真实验流程
确定投球姿势以及投球距离，计算出此时最佳的v0和θ的正态分布均值后，用正态云模型产生∆h、v0、θ的随机数据，按图3的流程进行仿真实验，计算命中率。
利用正态云模型建立数学模型，可通过仿真实验找出最佳投篮角度、投篮高度、投篮速度对运动员投篮命中率的影响规律。这些参数的熵、超熵减小，命中率提高。在进行投篮仿真时，需考虑精度及难度的设计，可适当取舍投篮角度、投篮高度和投篮速度的参数选择及取值范围，以取得最接近实际的结果。
5 结语
本文数学模型可用于篮球运动员日常训练、提高投篮命中率的理论指导，通过正态云模型可将球员实际训练统计值与理论仿真值对比分析，更科学、准确捕获球员的优劣势，进行针对性的训练。
[1]李洪强.篮球投篮命中率的主要影响因素分析，科技信息，2012，第29期，256～274
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[3]戴震.影响投篮命中率的运动生物力学因素分析与探讨，太原理工大学，硕士论文，2008
