■庞彦福
追求适合有深度的数学教学
■庞彦福
《国家中长期教育改革和发展规划纲要》（2010—2020年）指出：“尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育。”适合的教育才是最好的教育，同样，适合的教学也才是最好的教学。学生是有差异的，面对不同层次的学生，设计并实施怎样的教学才能适合学生的学习，利于学生的成长，促进学生的发展，是有责任心的教育工作者及一线教师需要不断思考的课题。
一、适合的教学需尊重学生
“九层之台，起于垒土。”教学应以学生为主体，立足学生的学，有助于学生的成长和发展。奥苏贝尔曾在他的《教育心理学：认知的观点》一书中写道：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一重要的因素就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并据此进行教学。”学生学习数学是建立在已有知识及其经验之上的。在“分式”教学时，笔者曾这样设计新课的引入：
之所以这样设计新课的引入，主要是基于以下几点考虑。首先，易切入，好上手。凡事从简单做起。我国古代著名哲学家、思想家老子有句名言：“天下难事，必做于易；天下大事，必做于细。”它精辟地指出想成就一番事业，必须从简单的事情做起，从细微之处入手。以最简单的小学知识“作为新课引入的切口，尽管起点低，但是立意高，这样学生可以通过联想类比学习新知识，易于将分数的相关知识迁移到新知识的学习上来。其次，回归和体现数学的本质。从“1÷2”到“1÷2x”、从回顾了分数的产生和意义，也唤醒学生了解从“分数”到“分式”、从“整式”到“分式”的过渡过程，从而让学生体悟知识间的互相联系以及学习分式的基本方法。第三，学生感觉到亲切自然。新课引入的问题情境并没有刻意进行“创设”，四个小问题贴近生活实际，贴近学生的生活。无论是从分数到分式的过渡，还是老师上班的实例，既接地气，又让学生体会到数学就在自己身边。第四，渗透整体架构的意识，有利于建立起逻辑连贯的知识体系和学习过程。数学体系是一脉相承的，有了整体化的设计思想，对于整个的教学设计就会有全局的考虑。第五，渗透研究数学概念的一般套路和方法。设计的5个小问题，是先给出例子，并让学生根据例子写出式子，然后通过观察、探寻来发现它们的共同属性。这样得到的分式定义才是学生自己习得的，如此的设计与学习过程才符合概念形成的规律。有了前面的铺垫和基础，到了学生自己举例子、概念辨析以及新知识的应用等环节，学生便会自主进入有深度的探究之中。这样的设计，学生习得知识的过程才符合深度学习的特征。第六，将隐性知识与显性知识有机结合。从特殊到一般、从具体到抽象以及类比的思想方法，融入到了新课的情境问题之中（如图1）。有了分式概念的深度探究，接下来学习分式的性质、运算及应用就有了坚实的基础以及可类比的基本方法。
图1
二、适合的教学需因材施教
教学中，教师如果对学习薄弱的学生采取的方法不当，薄弱生就会变成学困生，甚至跟不上课，只会越来越差。一个学生或个别学生在班级里或学校里只是集体中的一员，而对于家庭来说，他则可能是全部。因此，教育应该对每一个学生负责。
小K同学由于基础不好，学习起来相对困难，下面是小K作业中出现的错误：（1）25的平方根是
老师并没有在小K作业错误的地方打上大大的“×”或留下其他伤害性的标记，而是利用课外时间找到小K了解情况：
小K：结果是一样的，表示形式不同。
教师：结果是多少，怎样表示呢？
教师：我们逆过来想，平方等于36的数是几……
经过老师和同学的帮助，小K的学习有了明显的进步。
苏霍姆林基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”我们常说网络是双刃剑，其实，教学中的评价也可能是双刃剑，既能发挥积极作用，也会产生消极影响。老师对小K的错误没有打上大大的“×”号，没有批评她“这么简单的题目都不会”，没有直接教她“订正”，而是从类似的题目入手，让她理解知识、明白道理、寻找方法。一个“×”号看上去是客观的，但也是一种伤害；一句不经意的“这么简单的题目都不会”，从老师嘴里说出是那么的轻巧，可杀伤力是巨大的，在学生的内心深处可能会留下“我就是笨孩子”“我就是学不会”的烙印。在“的平方根是多少”的问题中，小K等同学为什么会得出的结论？其实是没有真正理解非负数的平方根，这样哪能掌握平方根的性质呢？所以当老师再追问时，又出现了类似错误。只有真正理解了才会求的平方根。平时的教学中，针对学困生或基础薄弱的学生，我们不妨换位思考一下。课堂提问时，简单问题留给基础薄弱的学生，从先后顺序上，先提问学困生；布置作业与完成情况方面，采取分层的方式，对基础薄弱的学生不做统一要求，只完成基本的部分或选做；而对优秀生则适当增加特征类题目，真正做到因材施教。
三、深度学习应该拾级而上
教学的过程中，当学生掌握了基本知识之后，要引导学生在已有的基础上进一步深化认识和理解，这样的过程其实就是深度学习。好的课堂教学应该是有深度的，但不一定是难度大的；反过来，难度大的课堂不一定有深度。教学中，如何能让深度学习在学生层面上落地生根，关键取决于教师对设计的问题是否适合于学生学习。在圆周角复习中，为了让学生进一步理解圆周角与锐角三角函数的关系，我设计了这样一个问题：
如图2，⊙O的半径为5，AB是直径，BC的长是6，则cosA的值为________________。
当学生能够顺利解决时，可设法让学生的思维拾级而上，于是我对问题进行了变形。
图2
图3
图4
学生思考时，可能会想着连接OA或OB或OC；当发现无法解决时，则有学生想到添加如图4所示的辅助线，利用同弧上的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、锐角三角函数等方法将问题解决。学生学习数学就是思维的训练。教学中，拾级而上的教学设计才是适合学生学习的，才可能促进学生的思维逐步提升，学生的学习也才会是有深度的。
四、有效教学促进学生发展
设计适合的有深度的数学教学就是追求有效教学。有效教学立足于学生的认知基础和已有的学习经验，站在学生的角度寻找解决问题的策略与途径，改进学习方式与方法，设计教学时总是朝着“激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践”的方向进行谋划。
对于基础薄弱的学生采取小步走、多层次、勤练习、常反馈的由易到难、由浅入深的迂回措施，该分解的分解，该铺垫的铺垫。解题教学时可能会将一个题目分解成两个或多个小题目，让学生容易上手，不至于失去学习的信心。也可能是采取有针对性的辅导，使基础薄弱的学生感觉到教师的关心、爱护和帮助。对于学习优秀的学生，更要因材施教，关注优秀学生的思维层次和解决综合问题的能力。通过适宜的方法，一方面让优秀学生更加优秀，另一方面让先知先觉者带动后知后觉者，促进学生的整体进步。
随着课堂教学改革的不断深入，教学的过程越来越重视学生的学，重视学生的学习过程及思考问题的方式方法。传统的课堂教学注重的是教师的教，教师主宰着课堂，教师是课堂的表演者，学生在课堂上只是听众和观众，在看教师的表演。随着教育教学改革的推进，大家逐渐意识到：在课堂教学中，学生才是真正的学习的主人，只有学生进入了学习的状态，教学才是有效的。在数学学习的过程中，只有细心观察、认真思考、不断反思与提炼，才能发现数学的规律及本质，才能不断提高自己的学习能力。随着学生认知水平的提高，他们才会理解到数学知识中蕴涵的丰厚的思想方法，才会不断生长出解决问题的能力，才可能变成有智慧的人。学习上、生活中，不能一条道走到黑，要注意观察和思考，要注意解决问题的策略和艺术；要灵活多变，该搭桥铺路时要搭桥铺路，该峰回路转时就峰回路转。学以致用，无论是数学学习还是生活方式，都需要在学习和生活的过程中不断反思，不断提炼，这样学习的方法会更好，对数学知识的理解会更全面。
（作者为江苏省特级教师，江南大学附属实验中学教师）
本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点自筹课题“初中数学‘深度学习’资源建设的理论与实践研究”（课题编号：B-b/2016/02/155）的阶段性研究成果。
