文庄 严
（作者单位：江苏省南京市文枢初级中学）
学习了“二次函数”之后，同学们对二次函数的定义、图像、性质都有了一定的了解，并能解决一些实际问题。回顾“二次函数”整章的探究过程，再类比“一次函数”“反比例函数”，我们不难看出，“二次函数”整章采用的是从特殊到一般的探究模式，即先研究最特殊、最简单的二次函数y=x2的图像和性质，然后通过上、下、左、右平移的方法，继续研究较复杂的二次函数的图像和性质，因此“平移”就成为研究本章内容最重要的方法之一。针对“二次函数”中的“平移”类问题，我们结合课本例题进行整理、归纳、变式，希望可以帮助同学们解决此类问题。
一、抓“平移变换”基本要素，研“形到数”的变化规律
例1（苏科版《数学》教材九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”习题第9题）怎样平移函数y=-x2的图像，可以得到函数y=-x2-8x-7的图像？
【分析】“平移变换”是图形基本变换中的一种情况，具备两个要素，即平移的方向和距离。函数的研究离不开图像，图像也是一种图形，所以平移的两个要素是解决图像平移的关键。任何图形的变换都是关键点的变换，抓住二次函数图像的关键点——顶点的平移就是解决此类问题的突破口。函数y=-x2的图像的顶点坐标是（0，0），函数y=-x2-8x-7图像的顶点坐标是（-4，9）。图像如何平移本质上就是两个顶点通过怎样的平移相互转换，即点（0，0）通过怎样的平移变为（-4，9）。
解：y=-x2-8x-7=-（x+4）2+9，将函数y=-x2的图像向左平移4个单位长度，再向上平移9个单位长度，得到函数y=-x2-8x-7的图像。
【点评】在“平移变换”中，我们可以积累经验，同时也可以总结出“上正下负，左正右负”的经验。比较变换前后的两个函数表达式y=-x2和y=-（x+4）2+9的形式，发现x后多了+4，等号右边整体多了+9，根据经验，也可以迎刃而解。
二、抓“平移变换”互逆性，探“形到数”的双向功能
例2（苏科版《数学》教材九年级下册第37页探索研究第14题）把二次函数y=x2+bx+c的图像沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（-2，0）。写出原抛物线相应的函数表达式。
【分析】平移前的坐标未知，平移后的坐标已知，我们可以根据变换的互逆性，从平移后所得的抛物线的顶点坐标（-2，0）出发，将提供的变换方式倒推，即“沿y轴向下平移1个单位长度，再沿x轴向左平移5个单位长度”，改为“沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移5个单位长度”，这样就可以得到图像平移前的顶点坐标（3，1），从而写出原抛物线相应的函数表达式。
解：y=（x-3）2+1。
【点评】从形的变换总结出式的变化规律，即设y=（x+5）2+b（x+5）+c-1=x2+（b+10）x+5b+c+24，根据抛物线的顶点坐标为（-2，0），解得b=-6，c=10。
三、抓“平移变换”本质特点，解“形到数”的思想方法
例3 （2014·南京）已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）。
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图像沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？
【分析】就此题第（2）问分析如下：函数的图像与x轴只有一个公共点的理解有两个角度：一个角度是借助y=0时，所对应的一元二次方程有两个相等的实数根，但是因为平移的距离未知，原二次函数表达式也未知，所以解决起来有困难；另一个角度，所谓函数的图像与x轴只有一个公共点也可以理解为函数图像的顶点在x轴上，这样从顶点坐标入手，就能很顺利地解决问题了。
解：y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3。把函数y=（x-m）2+3的图像沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）2的图像，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图像与x轴只有一个公共点。
所以，把函数y=x2-2mx+m2+3的图像沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点。
