文 缪 娟
圆是初中平面几何中的基本图形之一，是九年级学习的重要章节，知识点繁多，较为复杂。同学们在解决涉及圆的证明或计算等综合型问题时会感到比较困难。如果同学们在审题时弄清题意，拟订计划，就能发现它们是以基本图形为出发点，进行关联，并将推理蕴含其中的。
例题如图1，在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，过A、C、D三点的⊙O交BC于点E，DF⊥BC，垂足为F。
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=8，求EF的长。
请同学们先弄清已知和未知是什么，再将题干中的已知条件和一些隐含条件进行适当的组合，看看可以得到哪些基本结论。
基于条件“△ABC是直角三角形”最近联想的知识块链
基于条件“D是AB的中点”最近联想的知识块链
基于条件“AC=4，BC=8”进一步最近联想的知识块链
（1）证明：连接OD。
∵D是AB的中点，
∴AD=BD。
又∵OA=OE，
∴OD∥BE。
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∴∠ODF=∠DFB=90°，
即OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线。
（2）解法一：连接CD。
∵∠C=90°，D是AB的中点，
∴AE是⊙O的直径，CD=BD=AB。
又∵FD⊥BC，
∴CF=BF=BC=4。
连接DE，
则由AE为⊙O的直径得∠ADE=90°。
又∵D是AB的中点，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE。
设AE=x，则BE=x，CE=8-x。
在Rt△ACE中，
根据勾股定理，得AE2=AC2+CE2。
∴（8-x）2+42=x2，解得x=5。
∴BE=x=5。
∴EF=BE-BF=5-4=1。
解法二：连接DE。
∵∠C=90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠EDA=90°。
又∵FD⊥BC，
∴∠EFD=∠EDB=90°，
∴△DEF∽△BDF，
∴EF∶DF=DF∶BF。
∵CD=BD，DF⊥BC，
∴FC=FB=BC=4。
又∵D是AB的中点，
∴DF=AC=2，
∴EF∶2=2∶4，
即EF=1。
解法三：连接DE。
∵四边形ACED是圆的内接四边形，
∴∠DEC+∠DAC=180°。
又∵∠DEC+∠DEF=180°，
∴∠DEF=∠DAC。
∵∠DFE=∠ACB=90°，∠DEF=∠DAC，
∴△DEF∽△BAC，
∴EF∶AC=DF∶BC，
∴EF=1。
【点评】第（1）问考查了切线的判定，我们可以运用切线的判定定理证明。第（2）问是求线段长度。同学们对EF的“定位”是本题一题多解的条件，可以联想到用相似三角形、勾股定理等方法解决问题。在本题中，若将EF“定位”于△DEF中，只需要找到适当的三角形与其相似即可求解；若将EF视为BE上的一段（当然，也可理解为CF上的一段），可将EF“转化”为BE（或CE）求解。
在解决复杂的几何题时，我们需要对常见的基本图形熟知，并能从复杂图形中“分离”出基本图形。比如，本题中包含的“直角三角形斜边上的中线”“等腰三角形的三线合一（垂直平分线）”“三角形的中位线”“A字形”“子母直角三角形”等基本图形。我们如果能巧妙地对较为复杂的几何图形进行分解，就能化繁为简，找到解题的突破口。
