一类幂形式的非线性Volterra-Fredholm型积分不等式

卢钰松

(河池学院 数学与统计学院，广西 宜州546300)

0 引言

Volterr型积分不等式在微分方程，积分方程的定性研究中有着非常重要的作用。2004年 Pachpatte[1]研究了一类线性 Volterra－Fredholm型积分不等式：

解的估计。

2008年Ma[2]研究了一类非线性Volterra－Fredholm型积分不等式:

解的估计。

本文研究了一类幂形式的非线性Volterra－Fredholm型积分不等式：

解的估计。

1 主要结果

本文中 R+=[0，+∞],I∈[t0，T]；Ci（M，S）为定义在（M，S）上的 i次连续可微的函数集，其中 i=1,2,… ；令 C0（M，S）=C（M，S）。

定理 令 u（t），f（t），σ1（t）,σ2（t）∈C（I,R+），α∈C1（I，I），α（t）是定义在[t0，T]上的连续单调不减函数且 α（t）≤t。 若 u（t）满足不等式（3），则有：

其中c11是方程：的解。

2 定理的证明

证明：

且

所以：

不等式两边积分：

从而：

由（7）式得：

整理得：

由（5）式可得：0≤k≤t

所以 H（t）为增函数。

又因为：

所以 H（t）=0 有唯一解 c。

由（9）式得：

H（z（t0））≤0=H（c）

所以：

将上式代入（7）式后再代入（6）得：

定理得证。

［1］B.G.Pachpatte,Explicit bound on a retarded inequality[J].Math Inequal Appl，2004（7）：7-11.

［2］Q.-H.Ma，J.Pecaric,Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra-Fredholm type integral inequalities[J].Nonlinear Analysis,2008（69）：393-407.

［3］吴宇，唐敏，周察金.一类非线性Volterra-Fredholm型积分不等式得推广[J].宜宾学院学报，2012（6）：5-8.