郭放，黄国鸾，王立彦
一、引言
众所周知，由于信息不对称和信息不完全，在我国的上市公司中，大股东与中小股东的代理问题日益严重，形成了所谓的“第二类代理问题”。我国引入独立董事的初衷主要是利用其监督职能，即通过独立董事提供有效监督，遏制不断发生的大股东侵占小股东利益以及内部人控制的现象，也就是解决“第二类代理问题”（刘浩等，2012）。保证独立董事认真履行监督职能的前提是维持较高的独立性（Adams和Ferreira，2007；刘浩等，2012）。通过考察独立董事在董事会中所占比例与企业经营业绩的关系，现有研究发现两者呈显著正相关（例如，Brickley 等，1994；Peng，2004；王跃堂等，2006），这些也从另一个方面说明了保证独立董事独立性的重要。
然而，针对我国独立董事独立性的相关研究却普遍发现，独立董事独立性不高（王兵，2007；叶康涛等，2011；刘浩等，2012）。从我国上市公司实务来看，对于独立董事安排尚存在一些争议，没有形成一致性结论。一个很重要的原因是现有研究多关注于独立董事在某一时点上的独立性，很少有文献关注独立董事入职之后独立性随时间变化的变动情况。本文认为，要维持或提升独立董事的独立性，不但需要关注和分析某一时点上的独立性，更应该以独立董事任职的整个期间为研究窗口，去跟踪、观察和分析全局上的独立性。那么，在全局意义上，独立董事独立性是一开始就较低的吗？随着时间推移，独立性水平保持一致吗？换届连任的独立董事之独立性在两个不同任期的变动趋势是一致的吗？对此，现有研究并没有深入考察分析。对这些问题的回答，不但有助于学术界与实务界更全面地认识独立董事独立性这一问题，更重要的是有助于学术界与实务界真正了解和把握独立董事履职过程与特点。借助于梳理分析工具和方法，本文考察了不完全信息动态博弈环境下，换届连任的独立董事在两个任期内独立性随时间推移的变化特点。
具体说来，本文主要以Crawford和Sobel（1982）所提出的信息传递博弈模型为理论基础，并把Adams和Ferreira（2007）关于公司高管对董事会信息分享的理论加以扩展，构建了一个公司高管①在此，公司高管指公司CEO与公司董事会成员。与独立董事之间的“信息博弈”，从而推导出独立董事为了实现效用最大化而选择的独立性，并考察其随着时间推移的变化规律。结合现实考察独立董事独立性及其时间特性，具有重要的理论与现实意义。本文有助于学术界与实务界更好地理解独立董事独立性的时间变迁性。与直接考察某一时点上独立董事独立性的现有研究不同，本文将研究焦点落在独立性在时间维度上的变化趋势这一问题上，将其看成是独立董事根据特定时点上连续获得的信息所做出的决策。这样可以更好地揭示独立董事独立性的具体变化路径与特点。
本研究通过分析得出，当独立董事独立性较低时，公司高管会选择透露公司特有信息。而任何情况下独立董事都希望能得到公司的特有信息。进一步分析表明，独立董事的独立性与公司风险呈正比，且在第一个任期内随着时间的推移而降低（或入职后一段时间内会保持不变，然后随着时间的增加而降低）；在第二个任期内随着时间的推移而上升（或入职后一段时间内会保持不变，然后随着时间的增加而上升）。由此，本研究证明了独立董事入职后，其独立性并不是保持不变的，而是呈现出一定的变化趋势；在独立董事的两个任期内，其独立性变化趋势是不同的。
本文的意义在于：
第一，本文从理论上完整证明了独立董事独立性在两个任期内是变化着的。现有研究多关注于某一时点上的独立董事独立性，并就此分析独立性的影响因素及后果，与此不同的是，本文通过分析式研究，证明了独立董事独立性随时间变化而变化的特性，改变和深化了学术界与实务界对独立董事制度在实际运行中的认识。
第二，本文首次比较了换届连任的独立董事在两个任期内独立性变化趋势的差异。我国特有的独立董事任期制度可能使我国独立董事独立性变化趋势与国外不同，而在国内的学术界，却鲜有人结合我国独立董事任期制度而讨论两个任期内独立董事独立性变化规律。这限制了学术界与实务界更深层次地了解我国独立董事独立性，且妨碍了学术界与实务界有效地提高我国独立董事独立性、或者防止其独立性下降。通过分析，本文发现，独立董事第一任期内的独立性呈现下降趋势，而第二任期内则呈现上升趋势。
第三，本文采用了分析式研究方法去讨论独立董事的独立性。大样本实证研究有众多优点，但却只能在某几个特殊时刻用一些间接变量（例如，独立董事在本年是否提出异议、独立董事在董事会的人数的比例，等等）来衡量独立董事独立性，这些变量无法准确、连续地刻画独立董事在入职后独立性的变化。有些学者给出了独立董事独立性逐渐下降的结论（例如，Shivdasani和Yermack，1999），但这些研究仅限于规范性研究或描述性统计，且国外与国内独立董事任期制度的不同也会致使结果产生差异。
二、相关理论
独立董事独立性是学界和实务界共同关注的焦点，很多研究考察了独立董事的独立性与独立性对监督效果的影响。王兵（2007）以盈余质量为研究视角，对2002至2004年中国上市公司的数据进行分析，得出了以下结论：“独立董事不能提高公司的盈余质量，我国独立董事还没有发挥有效的监督效果。”叶康涛等（2011）对2005至2007 年中国A 股上市公司进行研究，发现“全部样本公司中，仅有约4% 的公司存在异议独立董事，表明大部分独立董事并不公开行使其异议权，这在一定程度上符合独立董事投票权属于橡皮图章的传统观点（Mace，1986）。”也就是说，中国绝大多数的独立董事由于种种原因丧失了其监督职能，或者是选择私下里对公司高管提出异议进行监督，而不是在公司董事会上对重大决议公开提出异议。刘浩等（2012）以中国上市公司中具有银行背景的独立董事为研究样本，对独立董事监督职能与咨询职能是否得到履行进行了研究，发现“企业聘请银行背景独立董事后，信贷融资将得到改善”，也就是说独立董事更好地履行了其专业咨询的职责，“但银行背景独立董事可能并不会进行努力的监督。”
很多学者分析了独立董事独立性的影响因素。这些因素分为两大类：第一，独立董事会为了避免法律风险和声誉风险而保持独立性；第二，当独立董事与高管之间存在较深的社会关系时，独立性降低。
一些研究认为，独立董事为避免法律风险和声誉风险而保持独立性。Fama 和Jensen（1983）认为，当公司的CEO同时在董事会任职时，公司的决策控制权与决策经营权发生了重叠，就会出现公司CEO与董事会串谋剥削中小股东的可能性，独立董事的介入可以有效地防止以上所述的串谋，保护中小股东的利益。同时文章也指出，独立董事之所以保持其独立性，最重要的激励因素是独立董事要维护其在专业领域的声誉。Fich和Shivdasani（2007）通过研究认为，如果独立董事任职公司遭遇财务舞弊诉讼，则该独立董事在其他公司的董事职位将显著减少，支持了声誉假说。唐清泉等（2006）认为，在中国制度背景下，独立董事进行监督的主要动因为规避法律风险或声誉风险。叶康涛等（2011）也指出，“如果独立董事履职公司出现重大法律或经营问题，则独立董事的社会声誉也将受到严重损害。”
另外一些研究认为，独立董事与高管的社会关系降低了独立董事的独立性。Fracassi和Tate（2009）认为，当公司的独立董事中与CEO存在社会关系的人数比例较大时，公司会决定做出更为频繁的公司并购，而这些公司的并购往往会伤害中小股东的利益。这也表明，独立董事会因为与CEO的社会关系，而减少对公司高管的监督。
与考察独立董事独立性的影响因素不同，很多研究者将关注的焦点落在了独立董事的独立性所发挥的作用上，他们大多认为独立董事保持独立性可以有效发挥其监督职能，并有利于企业经营业绩的增长。这些研究多以独立董事占董事会的比例来衡量该公司董事会中独立董事的独立性。一些学者研究了独立董事在董事会中所占比例与企业经营业绩的关系，发现两者呈显著正相关（例如，Brickley 等，1994；Peng，2004）。王跃堂等（2006）指出，“代理理论和乘员理论就独立董事比例的绩效后果产生了分歧，前者认为独立董事通过降低代理成本促进绩效，后者则认为董事会效率会因独立董事比例的提高而下降。”经过研究，作者认为，独立董事占董事会人数的比例有利于企业经营业绩的增长，即在我国的公司治理框架下代理理论更适用。
另外一些学者则寻找其他变量直接衡量每个独立董事个人的独立性。例如，叶康涛等（2011）用独立董事对公司决策是否提出异议来衡量独立董事的独立性，并得出结论，“这表明当公司面临危机时，独立董事能够发挥监督效果，并且独立董事的监督行为能够缓解代理问题，提高公司价值。”徐高彦（2011）用声誉、技术背景这些因素来衡量独立董事的独立性，考察了独立董事的独立性变化导致的结果，文章认为“独立董事独立性的提高有助于抑制异常关联销售的发生”。
现有研究从独立董事独立性的影响因素及其经济后果的角度，进行了很多有意义的考察和分析，得到了许多具有启发意义的证据和结论。尽管部分现有研究考察了独立董事独立性随时间变动情况，但现有研究对独立董事独立性的研究大多限于规范性研究或是描述性统计分析上，很少有分析式研究，也缺乏实证性分析，而且国外与国内独立董事任期制度的不同也会致使结果产生差异。例如，Shivdasani和Yermack（1999）认为董事会的成员在刚刚进入董事会时往往是比较独立的，但随着时间的增加，其独立性会逐渐降低。文章通过统计发现，在整个样本中有25.8%的独立性较低的董事，但是这个数字在刚刚进入董事会的独立董事中只有10.6%。不过值得注意的是，由于国外《公司法》对独立董事任职期限无具体的限制，因此大多数学者都认为独立董事的独立性是随着时间的推移而减弱的。
因此，现有研究未充分考察独立董事入职之后独立性随时间变化的变动情况，即现有研究多关注于时点上的独立性，而忽视或没有深入考察连续时间上的独立性变化趋势。要维持或提升独立董事的独立性，不但需要关注和分析某一时点上的独立性，更应该以独立董事任职的整个期间为研究窗口，去跟踪、观察和分析全局上的独立性。
三、模型的建立
对于公司的一个重大项目决策，本文假设公司高管与独立董事之间在公司特有信息①例如，公司一些不向外界披露的内部信息，独立董事根据这些信息可以分析出与本次项目有关的信息，并有利于高管做出最优选择。上存在着一定概率的信息不对称。一方面，公司高管希望向独立董事透露公司的特有信息。独立董事拥有相关专业知识，可以利用公司的特有信息观测到本次项目的特有信息，这是对本次项目决策富有信息含量的建议，弥补了公司高管专业知识的不足。另一方面，当公司高管向独立董事透露公司特有信息时。如果独立董事有足够高的独立性，独立董事会选择履行自己的监督职能。此时，独立董事会因为知悉公司特有信息而更方便对公司高管进行监督，这样会在一定程度上加大对公司高管侵占中小股东利益行为的约束，使得公司高管得到一个额外的效用惩罚。所以，公司高管在是否选择向独立董事透露公司特有信息上面临着这样一个权衡。
独立董事会为了最大化自己的效用②其中包括：一部分是与中小股东相一致的效用；一部分是因与公司高管串谋带来声誉风险与法律风险，继而得到的效用惩罚；一部分是因对公司高管监督，得到的人际关系上的效用惩罚。而调整自己的独立性。一方面，当独立性变高时，独立董事履行自己监督职能的概率也增加，在我国上市公司中，由于“大部分独立董事并不公开行使其异议权”（叶康涛等，2011），本文假设这个时候独立董事不会选择公开提出异议，而是在私下里对公司高管提出自己的意见并与其达成意见上的均衡，在此过程中独立董事进行了监督，同时也履行了自己的咨询职能。此时，独立董事执行监督职能会损坏与公司高管的人际关系，这会为独立董事带来一定的效用惩罚。另一方面，当独立董事的独立性变低时，其履行监督职能的概率变低，也就是易于直接与公司高管串谋，成为名副其实的“企业顾问”。此时，公司出现诸如经营业绩下滑、违法行为的可能性加大，独立董事面临着声誉风险与法律风险，这也会带来一定的效用惩罚。所以，独立董事会在调整自己独立性上面临一个权衡。
现在，本文假设公司拟召开一次董事会，就一个重大项目进行投票表决。本文构建一个由公司高管、独立董事组成的博弈模型。接下来，本文建立时间轴并给出双方的效用函数。
（一）时间轴
图1绘出了本博弈模型的时间轴。在此，本文定义公司的非独立董事与公司CEO为公司高管。并且，公司高管在与独立董事开始博弈之前已经统一了意见。
图1 博弈模型时间轴
1. 在 0时点，公司拟召开一次董事会，就一个重大项目进行投票表决。本文设独立董事的独立性为I，I的取值范围为(0,1]。独立董事对未来情况以及自身的偏好进行预测，通过分析调整自己的独立性，使得自己效用的数学期望最大化。
2. 在1时点，本文假定公司高管一定获知公司的特有信息θ，在此假设θ ∈ (- ∞,∞)。同时，由于独立董事并不是执行董事，对公司内部的信息存在一定的信息不对称。于是，本文假设存在c∈[0,1]的可能只有公司高管获知公司的特有信息θ，而有1- c的概率独立董事与公司高管都获知公司的特有信息θ。在这里，变量c衡量了该公司中的高管与独立董事间的信息不对称程度。如果只有公司高管获知公司的特有信息θ，公司高管将选择是否向公司的独立董事透露θ。
3. 在2时点，独立董事除了拥有监督职能，还具有咨询职能（Adams和Ferreira，2007），例如，独立董事在咨询职能层面上发挥作用的途径有：在技术、财务、行业管理等方面对公司的战略制定以及企业经营提供专业咨询（Demb 和Neubauer，1992）。所以，本文假定不论独立董事是否知悉公司特有信息θ，都会花费一单位的时间，凭借自己专业能力去获得与本项目相关的特有信息ε，来履行咨询职能。本文假设ε是θ的函数（如果独立董事不知悉公司特有信息θ，观测到的是ε(0)，相比之下，无信息含量），并且公司高管与独立董事都知道ε( θ)满足以下分布条件：
公司高管与独立董事在得知ε( θ)后会根据自身的偏好得出最佳的项目方案。
4. 在3时点，本文用独立董事的独立性I来衡量独立董事履行有效监督的概率（在此，本文假设当独立董事选择行使监督职时，拥有足够的胜任能力、会投入足够的精力）。也就是说，独立性越高，独立董事行使监督职能的可能性越大。
具体来说，一方面，公司独立董事有1- I的概率直接与公司的高管串谋。这时独立董事会把项目的特有信息ε( θ)透露给高管，并同意根据高管的偏好选择本次项目的方案y，这里假设项目的方案有无数多个，且 y ∈ (- ∞,∞)。也就是说这种情况下独立董事保持了自己企业顾问的职能，却丧失监督职能。另一方面，公司的独立董事有I的概率不会与高管串谋，也就是不会直接把公司特有信息ε( θ)透露给公司高管。然而，根据我国上市公司独立董事在董事会上对公司重大事项发表的意见统计来看，独立董事极少会发表非标意见（叶康涛等，2011）。所以，本文假设，独立董事在针对这个项目与公司高管意见相左的时候，会选择在董事会召开前私下里向公司高管提出自己的意见，两者通过博弈达成意见上的一致。因此，在这种情况下，独立董事与公司高管就本项目方案达成了意见上的均衡，独立董事既保证了企业顾问的职能，也对公司高管有了适当的监督。
5. 最后，由于独立董事已经在会前与高管达成了意见上的共识，所以公司召开董事会讨论通过了以上的项目方案。
（二）效用函数
本文首先假设公司的中小股东、高管以及独立董事都是风险中性的。本文考察的对象是所有做满两个任期的独立董事，在此引入时间变量 t ∈[0,6]，当 t ∈[0,3]时，为独立董事第一个任期，当 t ∈(3,6]时，为独立董事第二个任期。
1. 中小股东的效用函数
参照Adams和Ferreira（2007），本文设该上市公司中小股东的效用函数为一个损失最小型的二次型函数：
如前文所述，在式（2）中ε是本重大项目的特有信息，y是公司针对本重大项目所选择的方案。本文在此可以把θ理解为公司的内部信息；把ε理解为针对本项目，公司的最佳投入；而y就可以被解释为针对本项目公司的实际投入。独立董事由于具备专业才能，可以在知悉公司内部信息θ的情况下观测到 ε ( θ)的准确值。反之，独立董事在不知悉θ的情况下只能观测到相比无信息含量的 ε (0)。而式（2）中的 - ( ε -y)2就是公司本项目的利润，中小股东希望能选择ys=ε使得利润最大化，也就是等于0①本文使用一个损失最小型的二次型函数来表示中小股东的效用（或是公司利润），这可以更好地衡量不同决策下中小股东的效用（或是不同投入下公司利润）的变化。这并非指现实中，中小股东的最大效用（或是公司的最大利润）为0。如果要在模型中使得中小股东的效用（公司利润）恒为正，只需在（2）式中加上一个足够大的常数即可，这不会影响之后的计算和推演。本文为了使模型更加简洁，省去了这个常数。。
2. 公司高管的效用函数
本文设该上市公司高管的效用函数为：
在式（3）中， g ＞0，是用来衡量相对于中小股东，公司高管项目方案选择上的偏好（例如，高管有时会为了提升个人业绩而在一个项目上选择过度投资，损害中小股东的利益）。这在某种程度上给出了该公司“第二类代理问题”形成的原因。
另外，当独立董事获知公司特有信息θ且没有和公司高管串谋时，独立董事会因为知悉公司特有信息而更方便对公司高管进行监督，这样会在一定程度上加大对公司高管侵占中小股东利益行为的约束，使得公司高管在无法通过他们理想中最佳项目方案的同时（因独立董事不与其串谋，而是与其博弈，最终达成意见上的均衡），还得到一个额外的效用惩罚。如式（3）中所示，本文把这个额外的效用惩罚的代数值设为 b ≥0。χ1是指标函数，若独立董事获知θ且没有选择与公司高管串谋，则为1，其他情况为0。b值越大，代表独立董事在知悉公司特有信息θ的情况下，履行监管后产生的“额外监督效果”越大。因为各独立董事胜任能力、勤勉程度不同，且独立董事在各公司的监督权①根据《关于在上市公司建立独立董事制度的指导意见》规定，独立董事在公司有以下的权利：“重大关联交易（指上市公司拟与关联人达成的总额高于300万元或高于上市公司最近经审计净资产值的5%的关联交易）应由独立董事认可后，提交董事会讨论，独立董事做出判断前，可以聘请中介机构出具独立财务顾问报告，作为其判断的依据；向董事会提议聘用或解聘会计师事务所；向董事会提请召开临时股东大会；提议召开董事会；独立聘请外部审计机构和咨询机构；可以在股东大会召开前公开向股东征集投票权。”上述规定给予了独立董事一定权利，来限制公司高管在这个项目的进展过程中欺瞒中小股东、以权谋私。但因为有诸如公司高管不配合等因素，所以独立董事在各上市公司的监督权存在差异。不同，在知悉公司特有信息时监督产生的“额外监督效果”存在差异。
从公司高管的效用函数也可以看出，为了达到自身效用的最大化，公司高管认为最佳的项目方案是yc=ε-g，与中小股东不一致。
3. 公司独立董事的效用函数
本文设公司独立董事的效用函数为：
首先，由于独立董事理论上代表中小股东的利益，所以，本文设定式（4）中的第一部分为- (ε -y)2，与中小股东保持一致。
下面，本文再考虑其他影响独立董事效用的因素。
第一，独立董事进行监督的主要动因是规避法律风险或声誉风险（例如，Fama和Jensen，1983；唐清泉等，2006），当独立董事不能有效监督（即与公司高管串谋）时，公司出现业绩下滑或违法事件的概率会加大，这也会使得独立董事承受效用的损失。例如，根据Fich和Shivdasani（2007），如果独立董事任职公司遭遇财务舞弊诉讼，则该独立董事在其他公司的董事职位将显著减少。叶康涛等（2011）也指出，“如果独立董事履职公司出现重大法律或经营问题，则独立董事的社会声誉也将受到严重损害。”
在式（4）中第二部分，本文用 C ( I,t, r)表示独立董事由于公司出现经营业绩下滑、各种违规行为等情况时，而承受的法律成本与声誉成本②不管独立董事是否有效履行监督职能、是否与公司高管串谋，任职公司都有可能出现经营业绩下滑、各种违规行为等情况，都会导致独立董事承受法律成本与声誉成本。。本文注意到，独立董事的独立性越小时，其与公司高管之间串谋的可能性1- I越大，对于同一家公司，在得不到独立董事有效监督的情况下，其遭遇例如经营业绩下滑、各种法律诉讼等的可能性也越大，于是，独立董事得到的效用损失的期望值也就越大。也即，效用函数 C ( I,t, r)是独立性I 的减函数，本文假定函数 C (I,t, r )可导，则有：
在第一个任期内，独立董事会尽量争取连任。Vafeas（2003）认为，由于 CEO在公司的权力过大，他们甚至有权左右董事会来延长独立董事的任期，所以独立董事为了继续留任愈加不会实施有效的监督。这说明，越靠近换届时间独立董事越不在乎串谋带来的效用损失。于是当t∈[0,3]时，效用函数 C ( I,t, r)作为独立董事因公司出现经营业绩下滑、违规行为等情况获得的效用损失，应该是时间t的减函数。本文设效用函数 C ( I,t, r )在 t ∈[0,3]区间上可导，则有：
在第二个任期内，根据《关于在上市公司建立独立董事制度的指导意见》，这将是独立董事最后一个任期，独立董事无需再争取连任。因此，根据Vafeas（2003）的理论，在第二个任期内独立董事将会越来越顾及法律风险与声誉风险，函数 C ( I,t, r )也将会随着时间推移逐渐增加，是时间t的增函数。本文设效用函数 C ( I,t, r )在 t ∈(3,6]区间上可导，则有：
同时，令 r ∈ ( 0,∞)为公司的风险系数，r越大，代表该公司风险越大（例如，财务风险、经营风险以及潜在的违法可能性）。Fich和Shivdasani（2007）、支晓强等（2005）、唐清泉等（2006）都认为，如果公司存在经营风险、财务风险，该公司独立董事未来所承担的声誉成本与法律成本会加大。因此，在独立董事的两个任期内，函数 C ( I,t, r)是风险系数r的增函数。本文假设效用函数 C ( I,t, r)在 r ∈ ( 0,∞)可导，则有：
第二，当独立董事对高管实施了监督时，独立董事会得到一个来自社会关系的效用惩罚。例如，Fracassi和Tate（2009）认为，当公司的独立董事与CEO存在社会关系的人数比例较大时，公司会决定做出更为频繁的公司并购，而这些公司的并购往往会伤害中小股东的利益。这也表明，独立董事会考虑到与CEO的社会关系，而减少对公司高管的监督。因此，本文假设当独立董事履行其监督职能时，会得到一个来自社会关系的效用惩罚 d (t)，见式（4）的第三部分。
根据《关于在上市公司建立独立董事制度的指导意见》，上市公司不得聘任“在上市公司或者其附属企业任职的人员及其直系亲属、主要社会关系”为独立董事，于是本文假设独立董事在最初任职于公司的时候与高管没有任何社会关系，即 d ( 0) = 0，这时独立董事拒绝公司高管串谋也无需承受人际关系上的效用惩罚。
Vafeas（2003）认为，随着任职时间的增加，独立董事会和管理层建立起朋友关系，从而不愿去监督。Canavan等（2004）认为，任职时间长的董事独立性降低，更易成为“内部人”，而不选择监督 CEO。于是，本文认为，在第一个任期内，随着时间的推移，独立董事与公司高管通过开董事会等事务逐渐建立起了私交，这时再去拒绝公司高管的串谋要求，就会为独立董事带来社会关系成本。这可以理解为，独立董事刚与高管结识，不在乎得罪高管，但通过工作接触，越来越不情愿得罪高管。于是，函数 d (t)是时间t 的增函数。本文假设函数 d (t)在 t ∈[0,3]上可导，即：
在第二个任期内，独立董事在公司任职的时间逐渐减少，其与公司高管继续共同工作的机会也越来越少。这时，独立董事因拒绝公司高管的串谋要求而承受的人际关系损失也将逐渐减少。这可以理解为，独立董事越接近离职的时间，越不在乎得罪高管。于是，此时的函数 d ( t )是时间t的减函数。本文假设函数d在 t ∈(3,6]上可导，即：
最后，在式（4）中的χ2是指标函数，当独立董事拒绝与公司高管同谋时χ2值为1，其他情况为0。
四、模型的分析
下面，本文利用逆向推理的方法分析以上建立起的模型。
（一）时点3：独立董事与公司高管效用的数学期望
1. 独立董事与公司高管串谋的情况
有1- I的概率独立董事丧失了自己的监督职能，保持了企业顾问的职责，并与公司高管串谋。此时，根据独立董事是否知悉公司特有信息θ，本文分以下两种情况讨论。
（1）独立董事知悉公司特有信息θ
这时，有两种情况：第一，独立董事与公司高管之间不存在信息不对称，他们同时知悉公司特有信息θ；第二，独立董事与公司高管之间存在信息不对称，高管选择把公司特有信息θ透露给独立董事。在时点3，独立董事会花费一单位的时间，通过自己的专业能力观测到与本重大项目相关的信息 ε ( θ)，并得出对于中小股东的最佳方案为 ys=ε( θ)。这一情况下，如果独立董事选择与高管串谋，会把这一信息透露给公司高管，并且由公司高管来决定项目方案y，这时高管会选择令其效用最大化的方案，则有：
我们得出在这种情况下公司高管效用的数学期望为：
由于这时独立董事与高管串谋，所以χ2=0，独立董事效用数学期望为：
（2）独立董事不知悉公司特有信息θ
这时，在公司高管与独立董事之间存在信息不对称，并且公司高管没有选择把公司特有信息θ透露给独立董事。
独立董事在不知道θ值的情况下，无法得出ε的准确值。为了尽量减少项目特有信息ε与项目方案y之间差的平方的数学期望，独立董事只能根据ε( θ)~U[0,1]，给出项目特有信息则中小股东的最佳方案。由于双方串谋，独立董事给出方案后，公司高管根据其效用函数确定的方案为：
在这种情况下，公司高管效用的数学期望为：
本文定义此时ε的方差为：
从式（15）可以看出，公司高管效用的数学期望为：
此时，独立董事效用数学期望为：
2. 独立董事不与公司高管串谋的情况
有I的概率独立董事保持了自己监管的职责，拒绝把观测到的项目特有信息透露给高管，也就是拒绝与公司高管串谋。这时，双方存在一个多期的“信号博弈”。即独立董事选择不与公司高管串谋，因此不会直接把观测到的项目特有信息ε透露给高管，因为独立董事知道公司高管会采用yc=ε-g为最后的项目方案，这样会有损自身与中小股东的利益。于是，独立董事会选择向公司高管透露一个不准确的项目特有信息a ，以期公司高管决定的 y (a)使得自身与中小股东的效用最大化。由于双方没有串谋，公司高管知道独立董事提供的项目特有信息有误，因此，公司高管不会直接采用 yc= a - g为最后的项目方案，而是通过独立董事提供的该项目特有信息a推测出真实的项目特有信息ε的概率分布，最后通过计算自身效用函数的数学期望，来确定最后的项目方案 y (a)。此时，独立董事是信号的发送者，公司高管是信号的接收者。
（1）独立董事知悉公司特有信息θ
这时，有两种情况：第一，独立董事与公司高管之间不存在信息不对称，同时知悉公司特有信息θ；第二，独立董事与公司高管之间存在信息不对称，但高管选择把公司特有信息θ透露给独立董事。之后，独立董事根据公司特有信息θ，观测到项目特有信息ε。下面，本文构建这种情况下独立董事与公司高管间的博弈的模型。首先，引入一些新的概念，定义 a ∈[0,1]为独立董事向公司高管给出的建议（即不准确的项目特有信息），定义q( a ε)为独立董事在已经观测到ε的情况下，给出建议a 的概率（即密度函数）。这样，公司高管与独立董事之间构成了博弈论中的一个多期“信号博弈”，独立董事是发送者，公司高管是接收者。
下面，本文仿照Adams和Ferreira（2007），给出这个博弈的“完美贝叶斯纳什均衡”是如何定义的。
定义1：任取 ε ∈[0 , 1]，若存在一组函数q( a ε)（其中 a ∈[0,1]），满足∫q( a ε)da =1，设 y (a)为公司高管针对建议a 给出的项目方案，若该“信号博弈”存在“完美贝叶斯纳什均衡”，则满足以下条件：
（a）任取 ε ∈[0 , 1]，如果q( a ′ε) ＞ 0，则有
（b）任取 a ∈[0 , 1]，
其中，（a）中的内容说明，若独立董事获知ε的值，在公司高管针对任意建议 a ∈[0 , 1]，都给出了相应的方案 y (a)时，独立董事从自身考虑，选择给出的建议一定能使得自身的效用函数最大化。另外，（b）中的内容说明，若公司高管已知独立董事对于任何 ε ∈[0 , 1]给出各类建议a的概率（也就是q( a ε)）。独立董事给出的建议是a ，那么公司高管会根据q( a ε)得出独立董事观测到哪种ε给出的建议才有可能是a，且ε的概率是多少（p( ε a)）。接下来公司高管就会依据不同ε的不同概率，选择项目方案 y (a)，使得自身效用函数的数学期望最大化。
接下来，本文根据Crawford和Sobel（1982）定理1，得出以下结论。
结论1：如果 g ＞0，那么独立董事与公司高管间至少存在一个“完美贝叶斯纳什均衡”，且所有的均衡均可以表示为以下形式：任取 g ＞0，存在正整数 N (g)以及 n +1个实数 ai（ i = 0,1,...,n ），使得 0 = a0＜a1＜...＜ an=1，并且有
（b）若 ε ∈(ai, ai+1)，则q( a ε)是在 [ai, ai+1]区间平均分布的函数。
证明：
首先，令y = y + g，这样信息的发送者（也就是独立董事）与信息的接收者（也就是公司高管）的效用函数就可以写作：
这样，本“信号博弈”里的信息发送者与信息接收者的效用函数，以及其他所有条件都符合Crawford和Sobel（1982）定理1中的叙述。因此，根据Crawford和Sobel（1982）定理1中的结论，存在一个正整数 N (g)，使得对于任意 n ∈ [1,N(g)]，都至少会存在一个“完美贝叶斯纳什均衡”，并满足以下条件：
（b） 0 =a0＜a1＜...＜ an=1
（c）若 ε ∈(ai, ai+1)，则q( a ε)是在 [ai, ai+1]区间平均分布的函数。
从而本文得出在这个均衡下，公司高管决定的方案为：
另外，Crawford和Sobel（1982）定理1中同时指出，本博弈中的所有“完美贝叶斯纳什均衡”都可以归为以上的形式。证毕。
根据结论1，当独立董事不想与公司高管串谋时，将选择向公司高管提供带有噪音的建议，公司高管只能获知项目特有信息值在一个区间段 ( ai, ai+1)内。公司高管充分了解独立董事的策略，为了使自己效用的数学期望最大化，选择了区间段的中点减去自己的偏好g，作为最终的项目方案。
然而，在结论1中所述的多个均衡中，公司高管与独立董事都想选择一个让自身效用最大的均衡。根据Crawford和Sobel（1982）的结论，当 n =N(g)时的均衡是本博弈的帕累托最优均衡点，而且：
本文定义在帕累托最优均衡时，ε的方差为σm2，即：
那么，公司高管效用的数学期望为
此时，独立董事的数学期望为：
（2）独立董事不知悉公司特有信息θ
在此种情况下，独立董事依然对公司高管进行监督并给出建议，两者之间存在“信号博弈”。由于独立董事不知道公司特有信息θ，所以无法向公司高管给出有富有信息含量的建议。参考独立董事知悉θ的情况，在诸多“完美贝叶斯纳什均衡”解中，本研究认为当 n =1，也就是0 = a0＜a1=1时，独立董事提供的建议最缺乏信息含量，这时独立董事提供的信息是ε平均分布于区间[0,1]。所以，本研究假设这时存在的“完美贝叶斯纳什均衡”就是独立董事不知θ时双方达成的均衡点，而且：
这时，公司高管效用的数学期望为：
独立董事效用的数学期望为：
需要说明的是，独立董事给出意见的区间数量增加时，建议的信息含量也随之增加，均衡点上独立董事与公司高管的效用也随之增加。所以，当 n =1时，ε的方差是各个均衡点上最大的，也就能得出＞。
（二）时点2：公司高管是否向独立董事透露公司特有信息
1. 从公司高管的角度
在1时点，公司的独立董事有c 的概率没有与公司高管同时获知公司特有信息θ。这时，如果公司高管选择透露θ，不管独立董事是否选择与公司高管进行串谋，都会向独立董事提供富有信息含量的建议。这些建议让公司高管知道项目特有信息ε的准确值，或是ε值的一个相应范围由结论1），这些都有利于公司高管通过判断选择适当的项目方案y，从而增加自己的效用。然而，当独立董事知悉θ时，会有I的概率保持自己的监督职能，不选择与公司高管串谋。同时，独立董事会在之后项目的进展中行使监管职能。根据之前的假设，公司高管会承受一个附加的效用惩罚 -b。这样，公司高管将面临一个是否向独立董事透露θ的问题。
首先，本文设i为独立董事获知公司特有信息θ的情况，记i=θ为独立董事获知公司特有信息θ，记i=φ为独立董事没获知公司特有信息θ。
则有，当公司高管选择向独立董事透露公司特有信息θ时，其效用数学期望为：
公司高管没有向独立董事透露公司特有信息θ时，其效用数学期望为：
把式（28）、式（29）相减，得到结论：当 E Uc(i= θ ) - E Uc(i= φ ) = σM2- I ( σm2+ b ) ＞ 0，也就是独立董事的独立性满足时，公司高管会选择向独立董事透露公司特有信息θ）时，其监管公司高管的可能性变低。此时，公司高管一定会选择向独立董事透露公司特有信息，以换取其对项目方案富有信息含量的建议。。于是，本文得到以下结论2。
结论2：当独立董事的独立性达到足够小（*I I＜
结论3：当独立董事获知公司特有信息并对该项目选择履行监督职能时，若产生的“额外监督效果”不够大（ b ＜ σM2-σm2），无论独立董事独立性的高低，公司高管均会选择向独立董事透露公司特有信息θ。
2. 从独立董事的角度
对于独立董事而言，在1时点，若独立董事没有与公司高管共同获知公司特有信息θ，以下我们分两种情况讨论。
若公司高管与其分享信息，则有：
若公司高管没有与独立董事分享信息，则有：
两者相减，得出：
结论4：在1时点，若独立董事没有与公司高管共同获知公司特有信息θ，任何情况下，独立董事都希望公司高管能与其分享公司的特有信息。
（三）时点1：独立董事独立性的变化
1. 独立董事通过选择独立性实现效用最大化
根据假设，独立董事因独立性的丧失而承受的效用损失 C ( I,t, r)是独立性I 的减函数，是公司风险系数r 的增函数。当 t ∈[0,3]时， C ( I,t, r)是时间t 的减函数；当 t ∈(3,6]时， C ( I,t, r)是时间t 的增函数。
下面为了方便计算，不妨设：
其中，当 t ∈[0,3]时，函数 w ( t )是时间t的减函数；当 t ∈(3,6]时，函数 w ( t)是时间t的增函数。且由于 C ( I,t, r)在 t ∈[0,6]时恒大于0，所以 w ( t )在 t ∈[0,6]时恒大于0。
（1）公司高管选择向独立董事透露公司特有信息
如果公司高管选择向独立董事透露公司特有信息，则本博弈中独立董事总的效用数学期望为：
为了使自身效用的数学期望最大化，独立董事选择的最佳独立性为：
通过对式（35）求导，得出：
并且，当公司高管选择向独立董事透露公司特有信息时，独立董事的效用为：
（2）公司高管不选择向独立董事透露公司特有信息
如果公司高管不选择向独立董事透露公司特有信息，则本博弈中独立董事总的效用数学期望为：
独立董事为了实现自身效用的数学期望最大化，选择的最佳独立性为：
通过对式（39）求导，得出：
并且，当公司高管不选择把公司特有信息透露给独立董事时，独立董事的效用为：
由于 c ∈(0,1)，于是在任何时间点，皆有：
于是，本文得出以下结论5。
结论5：当公司高管不向独立董事透露公司特有信息时，两者存在信息不对称，这时独立董事的独立性会加大，也就是会增加对高管的监督。
另外，根据式（36）与式（40），本文观察到无论高管是否把公司特有信息透露给独立董事，独立董事的独立性都是公司风险系数r 的增函数。于是，本文得出结论6。
结论6：在越具风险性的公司任职，独立董事越会保持高的独立性。
2. 独立董事独立性的变化
下面，本文根据当独立董事知悉公司特有信息并实施监督时，产生的“额外监督效果”b 的值来讨论独立董事独立性随着时间增加的变化，则有：
此时，当独立董事知悉公司特有信息并实施监督时，产生的“额外监督效果”较小，根据结论3，公司高管一定会向独立董事透露公司的特有信息，则有：
本文考察独立董事最初加入董事会时的独立性，即令 0t=，这时，有：
下面根据公司风险系数分情况讨论。
此时，该公司风险系数较大，且根据式（44）， I( 0)=1。
第一个任期内，独立董事在刚加入公司的一段时间内因公司风险较大，存在较大的法律风险与声誉风险，而保持独立性为1。根据之前的假设，当 t ∈[0,3]时， d (t)是t 的增函数， w (t)是t的减函数，所以为时间t的减函数。因此，一段时间后且逐渐降低。所以，本文很容易得出：在独立董事的第一个任期内，独立董事的独立性首先保持为1，一段时间后逐渐下滑。
当 t ∈[0,3]时，令 d ( t)=t， w ( t) = 4 -t；当 t ∈(3,6]时，令 d ( t) = 6 -t， w ( t) = t -2，，则独立董事的独立性I 关于时间t的函数图像如图2所示。
图2 第一种情况下独立董事独立性在两个任期内的变化趋势
此时，该公司风险系数较小，且 I( 0)＜1。
第一个任期内，因公司风险较小，存在较小的法律风险与声誉风险，独立董事在刚加入董事会时独立性就有所丧失，且，根据前文的讨论，在独立董事的第一个任期内， I1(t)为时间t的减函数，即独立董事的独立性逐渐下滑。
当 t ∈[0,3]时，令 d ( t)=t， w ( t) = 4 -t；当 t ∈(3,6]时， d ( t) = 6 -t， w ( t) = t -2，，则独立董事的独立性I关于时间t 的函数图像如图3所示。
图3 第二种情况下独立董事独立性在两个任期内的变化趋势
（2）若 b ≥σM2-σm2
这时，当独立董事知悉公司特有信息并实施监督时，产生的“额外监督效果”较大，根据结论2，如果独立董事独立性过高，高管是不会向其透露公司的特有信息的。因此，最开始入职公司时，独立董事的独立性为：
下面根据公司风险系数分情况讨论。
此时，该公司风险系数较大，且 I( 0)=1。
第一个任期内，独立董事在刚加入公司的一段时间内因公司风险较大，存在较大的法律风险与声誉风险，而保持独立性为1。根据之前的假设，当 t ∈[0,3]时， d (t)是t 的增函数， w (t)是t的减函数，所以为时间t 的减函数。因此，一段时间后，且逐渐减少。所以，据此很容易得出：在独立董事的第一个任期内，独立董事的独立性首先保持为1，一段时间后逐渐下滑。
当 t ∈[0,3]时，令 d ( t)=t，w( t) = 4 -t；当 t ∈(3,6]时，令 d ( t) = 6 -t，w( t) = t -2，c=，，则独立董事的独立性I 关于时间t 的函数图像如图4所示。
图4 第三种情况下独立董事独立性在两个任期内的变化趋势
此时，该公司风险系数较小，且 I( 0)＜1。
第一个任期内，因公司风险较小，存在较小的法律风险与声誉风险，独立董事在刚加入董事会时独立性就有所丧失，且，根据前文的讨论，在独立董事的第一个任期内， I2(t)为时间t的减函数，即独立董事的独立性逐渐下滑。
当 t ∈[0,3]时，令 d ( t)=t，w( t) = 4 -t；当 t ∈(3,6]时，令 d ( t) = 6 -t，w( t) = t -2，c=，，则独立董事的独立性I 关于时间t 的函数图像如图5所示。
图5 第四种情况下独立董事独立性在两个任期内的变化趋势
值得注意的是，若 b ≥σM2-σm2，在独立董事第一个任期内，当独立董事独立性 I ( t) =I2(t)降低时， I1( t)也随之降低。根据结论2，高管会等待 I1( t)减少至时选择向其透露公司特有信息以获得有价值的建议。此时，独立董事的独立性突然变为。在独立董事第二个任期内，若独立董事独立性1
根据以上结论，可以得出本文最重要的结论。
结论7：如果公司风险系数较大，第一个任期内，独立董事在刚入职公司时，会在一段时间保持独立性为1，这之后独立性随着时间的增加而降低；第二个任期内，独立董事的独立性随时间的增加而上升，当独立性上升至1时，直至独立董事离职皆保持不变。如果公司风险系数较小，第一个任期内，独立董事在刚入职公司时，独立性就会有所丧失，这之后独立性随着时间的增加而降低；第二个任期内，独立董事的独立性随时间的增加而上升。
由式（43）以及式（45）可以分析得知，若 b ＜ σM2-σm2，则有 I ( t) = m in{I1(t),1}=若 b ≥-，则有I( t) = min{I2(t),1} = min
另外，由式（39），可以得出=I2(t)。于是，本文对b＜ σM2-σm2以及 b ≥σM2-σm2两种情况下，独立董事同一时刻的独立性进行比较，发现b≥σM2-σm2情况下独立董事的独立性恒大于 b ＜ σM2-σm2情况下的独立性。
于是，本文得出结论8。
结论8：当独立董事知悉公司特有信息并实施监督时，若产生的“额外监督效果”增加到足够大，其独立性会有所增加。
五、实证检验
下面，本文对主要研究结果——结论7进行实证检验。2001年8月16日，我国证监会颁布了《关于在上市公司建立独立董事制度的指导意见》并规范了独立董事任期制度。因此，本文以《指导意见》出台后，即2002至2014年这13年为研究窗口期，选取沪深两市所有上市公司的独立董事为研究对象。另外，本文又剔除少量独立董事中途离职的数据、2014年依旧任职且第一届任期未满（或刚满）的数据、少数独立董事卸任后隔一段时间又复任的数据，以及任职或离职年份残缺不全的数据，最后得到12 261个公司—独立董事数据。本文的数据均来自CSMAR 数据库。
针对每个公司—独立董事数据，本文采用叶康涛等（2011）的方法，用独立董事是否提出公开异议来衡量数据中独立董事的独立性。经统计得出，12 261个公司—独立董事数据中，独立董事共提出1 125次公开异议。表1按照独立董事任职年份对公开异议进行了统计。
表1 独立董事提出公开异议描述性统计
如图6所示，本文把统计出的数据按照全样本、独立董事连任样本、独立董事不连任样本进行分组，分别给出其在任期内提出公开异议次数的变化趋势。其中连任样本的公开异议变化呈先下降后上升的趋势，这从实证数据上验证了本文的结论7，即连任第二个任期的独立董事的独立性在第一个任期内呈下降趋势，在第二个任期内呈上升趋势。
另外，从图6的连任样本折线图中也能看出，虽然独立董事在第二个任期的独立性逐渐上升，但第二个任期的整体独立性明显低于第一个任期。可以看出，独立性是影响独立董事监督效果的重要因素。
图6 独立董事提出公开异议变化趋势
六、结论
本文应用博弈论中的信息传递理论，构建了我国上市公司高管与独立董事的一个“信号博弈”。通过对博弈的分析，本文得到了一些实证研究中很难观测到的结论。
对于我国上市公司高管，他们会通过选择是否向独立董事透露公司特有信息来最大化自己的效用。一方面，独立董事的监督职能可以有效防止或者减少公司高管对中小股东的侵权行为，尤其在独立董事获知公司特有信息的时候，会更方便其对公司高管进行有效监督，使得公司高管的利益受损；另一方面，独立董事的咨询职能可以帮助公司高管弥补专业领域知识的不足，在针对某一个公司的项目时，独立董事的咨询职能可以帮助公司高管知道最佳的方案，当公司高管不知道公司特有信息的时候，又无法给出富有信息含量的建议。这样，公司高管在是否与独立董事分享公司特有信息的时候存在着一个权衡。
对于独立董事，会通过选择其独立性来最大化其效用。一方面，独立性值较大，独立董事履行监督职能的几率加大，这样，独立董事会因为拒绝串谋遭到人际关系上的效用损失；另一方面，若独立董事的独立性偏小，独立董事履行监督职能的几率减小，公司更容易出现诸如经营业绩下滑、违规行为等问题，于是独立董事的法律风险与声誉风险加大，这同样会为独立董事带来效用上的惩罚。所以，与公司高管类似，独立董事在调整独立性的时候也面临着一个权衡。
通过本文的分析，得到了最重要的结论，就是，我国上市公司在第一个任期内，独立董事的独立性会呈现连续降低的趋势；在第二个任期内，独立董事的独立性呈连续上升的趋势。而且，公司风险与独立董事的独立性呈正比。最后，如果独立董事知悉公司特有信息，且履行对公司高管监督职能时，若产生的“额外监督效果”足够大，独立董事的独立性会有所增加。
