[摘 要] 关键能力的发展与数学学程设计是目标与过程的关系，明确了这一关系，也就意味着学程设计的目标一定是关键能力的发展，而关键能力的发展也就自然成了初中数学学程设计的出发点与依据. 用关键能力的发展来引导初中数学的学程设计，无论从理论的角度来看，还是从实践的角度来看，都有着强大的生命力. 站在学生的角度看这一观点，会发现两者之间有着良好的吻合关系和互相促进的关系.
[关键词] 初中数学;学程设计;关键能力
当前初中数学教学最主要的任务之一，就是帮助学生发展核心素养. 核心素养是指学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力. 很显然，必备品格是指向学生精神层面的，与之相关的更多的是非智力因素;关键能力则是指向学生的认知层面的，与之相关的更多的是智力因素. 作为具体的学科教学，应当夯实关键能力培养的基础，然后在关键能力的形成过程中发展学生的必备品格. 既然关键能力的培养是基础，那幺对于初中数学学科来说，自然就要坚持关键能力的教学导向.
如果说发展学生的关键能力是数学教学的目的的话，那幺要实现这一目的，就必须有相应的教学过程. 尤其是课程改革以来，初中数学教学进行了诸多的研究，形成了不少教学流派，在这些流派当中，立足学程设计来优化学生的学习过程，是一个非常有效的思路. 在关键能力提出前，立足学程设计可以让学生的数学学习过程超越以往，且取得较好的教学效果. 在明确了关键能力应当作为核心素养背景下初中数学教学的目标导向时，就应当用关键能力的发展来引领初中数学学程设计的进程.
根据核心素养以及关键能力的概念层次关系可知，后者是前者的下位概念. 很自然地，数学学科的关键能力是学科核心素养的重要组成部分. 有研究者指出，当前两个需要解决的问题是：（1）如何将关键能力培养落实到教学中去;（2）如何评价学生的关键能力[1]. 对于初中数学教学而言，针对前一个问题，实际上可以用学程设计作为答案;针对后一个问题，笔者以为可以借鉴其他学段对数学学科核心素养的界定来进行回答，也就是将数学抽象、逻辑推理以及数学建模等要素作为关键能力的评价指标. 反之，以关键能力的发展来引领初中数学教学的学程设计，也可以将这些要素作为具体的评价指标.
基于上述分析，笔者以“角的平分线的性质”为例，谈谈如何运用关键能力去引领初中数学学程设计的开展，并在此过程中认识关键能力引领初中数学学程设计的意义.
关键能力的发展是初中数学
学程设计的依据
如同上面所指出的那样，关键能力的发展与数学学程设计是目标与过程的关系. 明确了这一关系，也就意味着学程设计的目标一定是关键能力的发展，而关键能力的发展也就自然成了初中数学学程设计的出发点与依据.
这里首先要对学程设计有一个基本的理解. 在学程设计所属的教学流派里，学材开发和学程设计是数学结构化教学中非常关键的两个环节，它们特别强调从真实情境中来，到真实问题中去（事实上这也是初中数学教学的基本原则，其匹配初中学生的认知特点，能够让学生在真实情境的感知以及真实问题的解决中建构数学知识及其体系）. 因此在具体的教学中，教师要注意组织基于真实情境的学习过程，聚焦数学本质;开发动静结合的学习材料，助力学生突破学习难点;呈现元素联结的变式材料，开阔学生的数学视野[2]. 所说的实际上都是学程设计的基本方法，通过这些方法可以发现，一个有效的数学学程，就是一个科学的数学知识演绎的过程，同时也是适合初中生建构数学知识的过程. 一个有效的学程设计，一定要考虑知识发生的情境——这意味着教师必须开发相应的课程资源;要考虑知识发生的过程——这意味着教师必须在把握学生认知规律的基础上，设计出满足初中生数学知识建构需要的学程，事实上这也是学程设计的核心环节;要考虑知识建构的结果——这意味着教师必须有相应的评价体系来评价所设计的学程是否契合学生的需要.
那幺，用关键能力的发展来引领数学学程设计，又必须建立怎样的逻辑关系理解呢？其中的逻辑关系其实很简单：数学教学的目的是什幺？除了帮助学生积累相应的知识，以形成解题能力外，很重要的一点就是发展学生的能力. 既然核心素养提出了关键能力的概念，数学教学的主要目的自然也就是发展学生的关键能力，即上面提到的数学抽象能力、逻辑推理能力以及数学建模能力等. 进行学程设计的时候，教师将大量精力聚焦其中，自然是为了发展学生的关键能力. 那幺分析得细致一点，初中数学学程设计就要围绕数学抽象能力、逻辑推理能力以及数学建模能力等来展开. 分析到这里，数学学科核心素养的组成要素就与学生设计很好地匹配在一起，从而形成了一对自洽的因果关系.
基于关键能力发展的初中数学
学程设计例析
当前对于关键能力的培养，已经有了不少的研究成果，有研究者聚焦学生数学关键能力的发展，提出了教学改进实施的基本路径，即前测定位，教学诊断，活动设计，课堂研究，师生访谈，教师反思及后测评估[3]. 从这样的程序来看，关键能力的发展是一个系统过程. 当然，在具体的实践过程中，这些环节也未必要面面俱到，应当结合学生的认知实际以及教学内容，设计出更符合学生需要的学习进程，这实际上也就是学程设计.
以“角的平分线的性质”为例，从知识的角度来看，这一内容的教学当然是为了让学生掌握并理解角的平分线的性质;那幺从能力尤其是关键能力的角度来看，这一内容的教学在不同程度上涉及数学抽象、逻辑推理以及数学建模等.
具体说，“角的平分线”这一概念对于学生来说是很容易建构的，即使不经过任何实物模型，学生也能够从字面上认识到“角的平分线”就是“平分角的线”，从而在大体上建构出角的平分线的表象——当然这也是对于大多数学生而言. 少部分学生仍然存在一定的理解障碍，所以在实际教学的时候，仍然有必要借助实物模型来教学——这就是学程设计第一个要注意的地方. 这里会涉及数学学科核心素养中的数学抽象，而这是关键能力培养的第一个环节.
与此同时，应当注意到的是，即使绝大多数学生能够凭着直觉理解“角的平分线”，但是对于“角的平分线的性质”的理解就容易出现困难. 其直接原因在于，绝大多数初中生对于“性质”这一概念是陌生的，是感觉到抽象的. 即使学生此前学过其他的“性质”，在这里依然无法凭着已有的知识反应出“角的平分线的性质”为何物. 这也就意味着教师进行学程设计时，应当想方设法突破这一难点. 此处既涉及学生的直观想象，也涉及逻辑推理，是关键能力发展的核心环节.
最后还应当注意的是，对于“角的平分线的性质”的描述，会有一个从学生朴素理解到专业的数学表达变化的过程. 这个过程其实不只是数学知识的积累，更是一个数学模型建立的过程——数学模型原本就是一个宽泛的概念，除了实物模型外，数学概念、规律、性质等，凡是能够让学生直接拿来运用的判断，都可以称为数学模型，这些概念、规律、性质的建立过程，也都可以认为是数学建模的过程. 有了这样的认识去设计学程，那幺以数学建模为表征的关键能力的培养就有了基础.
基于上述分析，“角的平分线的性质”这一内容的学程设计，就可以包括如下几个环节：
其一，借助平分角的仪器实物，让学生在阐述原理的过程中建立起对“角的平分线”的认识.
这个过程中有一个核心环节，就是图1中“点A与C的连线即∠A的平分线”——这里涉及数学抽象，考虑到其体现得比较明显，因此不再赘述. 这个环节不仅可以帮助所有学生形成角的平分线的表象，还可以帮助学生拓展其后的探究空间，即让学生知道这种作一个角的平分线的方法背后隐藏着一定的道理.
其二，探究“角的平分线的性质”.
这个环节的核心，其实是将平分角的仪器中的DC和BC两条任意边变成“距离”（即垂直于∠A两条边的线段）. 这实际上是一个从一般到特殊的过程，伴随着的是演绎推理. 因此这样一个环节的关键能力的培养，主要是指向逻辑推理. 在逻辑推理的过程中，所借用的数学工具主要是全等三角形，“角角边可证三角形全等”“全等三角形的对应边相等”是两个基本的逻辑关系.
其三，建立“角的平分线的性质”模型认知.
这个模型认知是在“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”这一判断的基础上建立的. 这句话看起来简单，但其内容以及逻辑却非常丰富：“线”不是任意的线而是角的平分线;“点”是任意的点，只要在角的平分线上即可;“距离”实际上是角的平分线上的点到角两边的垂线段的长度，这个长度只要满足前面的条件，那幺其结果就是“相等”的. 这样一分析就可以发现其中的内涵非常丰富，逻辑关系也非常清晰. 当学生理解了这些后，也就能形成清晰的模型认知.
后续的教学实践表明，当教师为学生设计了这样一个详细的学程，且学生经历了这些学程后，上面所确定的关键能力的培养指向就可以得到明确. 反过来也说明，用关键能力的发展来引导学程设计，确实可以让学生经历一个符合自身认知特点的学习过程.
关键能力的发展与初中数学
学程设计的互促
从上面这个例子的分析可以发现，用关键能力的发展来引导初中数学的学程设计，无论从理论的角度来看，还是从实践的角度来看，都有着强大的生命力. 特别值得一提的是，如果站在学生的角度看这一观点，会发现两者之间有着良好的吻合关系和互相促进的关系.
这里重点谈一下互相促进关系. 首先必须指出的是，这种互相促进关系是初中数学教学所追求的理想状态，试想当学生的学习既能够经历有效的学习过程，又能够实现关键能力的发展时，这是一种多幺理想的课堂状态. 实际上从上述案例确实可以发现，当教师致力于用关键能力的发展去引导初中数学学程设计的时候，所设计出来的学习环节都有着明确的核心素养发展的指向，这就使得教师乃至学生都可以带着明确的目的去进行教与学;反之，有了符合学生认知规律的学程设计以及实施，那幺以数学学科核心素养组成要素为表征的关键能力就可以得到切实而有效的培养. 而且，无论是关键能力的发展还是学程设计，它们都有一个共同的目标，那就是学生——关键能力是学生拥有的关键能力，学程是学生体验的学习过程，当这两者融合在一起的时候，就是科学的学习过程与科学的学习目标完美结合的时候. 因此从这个角度来看，用关键能力的发展引领初中数学学程设计，意味着良好教学形态的打造.
由此进一步思考关键能力发展引领初中数学学程设计，就可以给核心素养背景下的初中数学教学带来一个有益的启示，那就是教师要同时关注教学目的与过程，要保证两者之间真实匹配（反观教学实际可以发现，很多教师书写的教案上，教学目标往往是拿来主义的产物，学程设计往往是经验主义的产物，两者之间的匹配关系并不明显）. 核心素养是当下初中数学教学的最大背景，关键能力的发展是初中数学教学最核心的目标，要实现关键能力的发展，唯有经历切实有效的学习进程，所以用关键能力的发展引导数学学程设计，显得尤为迫切与必要.
总而言之，在数学教学中，为了使教学生成的理念得到有效落实，必须转变传统的刚性、静态的封闭型教程设计观，树立弹性、动态的开放型学程设计观[4]. 而关键能力的发展，就可以帮助教师形成这样的学程设计观.
参考文献：
[1]郑辉龙，林祥华，温海英. 初中数学关键能力水平标准的研制与应用系列——数学建模能力水平标准的研制与应用[J]. 福建教育，2020（19）：45-48.
[2]孙谦. 数学结构化教学的学材开发与学程设计——以“分数的意义”的教学为例[J]. 江苏教育，2021（35）：12-14.
[3]曹一鸣，王振平. 基于学生数学关键能力发展的教学改进研究[J]. 教育科学研究，2018（03）：61-65.
[4]李祎. 基于教学生成的数学教学设计[J]. 天津师范大学学报（基础教育版）， 2006（03）：65-68.
基金项目：江苏省教育科学“十四五”规划2021年度立项重点课题“指向学科关键能力的初中数学学程设计研究”（c-b/2021/02/55）.
作者简介：周维（1983—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.
