陆祥雪 彭景晖
操作探究猜想结论推理证明
——探究关于坐标轴夹角平分线对称的点的活动方案
陆祥雪彭景晖
【活动背景】本次活动是在同学们学习了《平面直角坐标系》一章后，了解了坐标系中对称点的坐标特点的情况下，利用几何画板软件，探究关于坐标轴夹角平分线对称的点的特点.将现代信息技术与数学实验融合起来，通过操作、观察、归纳、类比等活动发现规律，猜想结论，发展合情推理能力，并认识到结论的正确性要通过推理来确认.
【课前准备】
笔记本电脑数台，要安装几何画板软件，装有投影设备的教室.
【活动过程】
活动一：观看老师的操作步骤，模仿操作
步骤：1.打开几何画板界面，熟悉一些基本操作；
2.点击“绘图”菜单，在下拉菜单中，选择“网格样式”，再在其子菜单中，选择“方形网格”（如图1）；
图1
3.标注原点O，选择“点”工具，分别在x、y正负半轴上，标上点P、M、Q、N；
图2
4.依次选中点P、O、Q，在菜单“构造”的下拉菜单中，选择角平分线，则可画出x轴正半轴与y轴正半轴所夹角的平分线，类似可画另外三条.
图3
说明：把∠POQ、∠MON的角平分线合称为：第一、三象限的角平分线；把∠MOQ、∠PON的角平分线合称为：第二、四象限的角平分线.
5.在坐标平面内任点一点，利用菜单“显示”的下拉菜单中的“点的标签”，标注为点A.再点击菜单“度量”的下拉菜单中的“坐标”，就可以得到点A的坐标.点击点A及∠POQ的角平分线，在菜单“变换”的下拉菜单中选择“反射”，则可得到点A关于∠POQ的角平分线对称的点，标注为A′点并度量其坐标.
图4
活动二：小组活动，观察点A与点A′坐标的特点
用鼠标拖动点A，观察当点A变化时，点A′的坐标变化情况，并做适当记录.类似探究关于∠MOQ、∠MON、∠PON的角平分线的对称点的坐标特点.
思考：1.点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线的对称点P′的坐标是什么？
2.点Q（a，b）关于第二、四象限的角平分线的对称点Q′的坐标是什么？
活动三：全班交流，汇报观察结果
第一小组汇报：我们发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线的对称点P′的坐标为（b，a）.
第二小组汇报：我们发现：坐标平面内任一点Q（a，b）关于第二、四象限的角平分线的对称点Q′的坐标为（-b，-a）.其他小组表示赞同.
活动四：证明结论
结论1平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线的对称点P′的坐标为（b，a）.
图5
证明：连接PP′交于第一、三象限的角平分线于点Q，作PM⊥x轴于点M，作P′N⊥y轴于点N，连接OP、OP′.因为点P、P′关于第一、三象限的角平分线对称，可得OP=OP′，∠POQ=∠P′OQ，则∠POM= ∠P′ON.所以，△POM≌△P′ON.故OM=ON，PM=P′N.
又因为P（a，b），所以，OM=ON=a，PM =P′N=b，即P′的坐标为（b，a）.
结论2平面坐标系内任一点Q（a，b）关于第二、四象限的角平分线对称点的坐标为（-b，-a）.
仿结论1的证明方法，容易得证.各小组同学自行完成，相互评价.
活动五：理解与运用
已知两点D（1，-3）、E（-1，-4），点Q是第一、三象限的角平分线上一动点，试求QD+ QE的最小值.
朱泽辰同学到黑板上展示他的解答过程.
解：作点D（1，-3）关于第一、三象限的角平分线的对称点D′，由结论1得，点D′的坐标为（-3，1）.再连接D′E，交第一、三象限的角平分线于点Q，则DQ+EQ最小.最小值即为D′E的长，由勾股定理，得D′E=
图6
【活动收获】通过本次活动，你体会到将信息技术与数学学习相结合有什么优势？你体会到合情推理与演绎推理间的什么关系？
（作者单位：江苏省泰州中学附属初级中学）
