文谢 倩
(作者单位:江苏省无锡金桥双语实验学校初中部)
数学学习与数学解题中,同学们由于受已经形成的经验或者是已有模式的影响,往往会因思维定式而造成错误。
一、思维定式造成的解题思路窄化
例1 如图1,⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD。求证:PA=PC。
图1
图2
图3
【思维定式】由于AB、CD是⊙O相等的弦,因此过圆心O分别作AB、CD的垂线,如图2,然后朝着PA=PC的方向寻找条件。
【原因分析】由于受“垂径定理”或“同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么可以得到这两条弦上的弦心距相等”的思维定式的影响或制约,使解题思路受限。
【解题反思】根据圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理,再利用等腰三角形的判定即可得到解决问题的有效方法。
二、思维定式造成的解题思路呆板
例2 如图4,在正方形ABCD中,AB=2,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E、F运动速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段AF、BE相交于点P,则线段DP的最小值为_______。
图4
【思维定式】若点E、F分别运动到AD、DC 中点时,则时,线段DP的最小值为;若点E、F分别运动到AD、DC终点时,则AF=所以,线段DP的最小值为综上所述,线段DP的最小值为或
【原因分析】从特殊情况考虑,不一定是问题的答案。
【快速求解】由正方形ABCD得AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°。
∵点E、F运动速度相同,运动时间相同,∴AE=DF,
在△BAE和△ADF中,
∵BA=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,
∴△BAE≌△ADF,
∴∠ABE=∠DAF,
∴∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=90°,∴∠APB=90°,
∴点P在以AB为直径的半圆上运动,如图5,当圆心O、点P和点D在同一条直线上时,DP最小,为 5-1。
图5
【解题反思】从特殊到一般尽管是解决问题的一种思想方法,但是本题的思路与方法,同学们更应该了解和掌握。
三、思维定式造成的解题思路固化
例3 如图6,点A与点B的坐标分别是A(1,0),B(5,0),P是该平面直角坐标系内的一个动点。
图6
(1)使∠APB=30°的点P有_____个;
(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标;
(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否存在最大值?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。
【思维定式】题中给出的图,只考虑点P在第一象限,造成漏解。
【原因分析】(1)中由∠APB=30°,很容易想到点P在某个圆上运动,当弦AB不变时相应的圆周角大小不变,所以符合要求的点P有无数个;受(1)的启发,可以断定点P为该圆与y轴的交点,但此时我们又不擅长补圆,以致无法求出点P的坐标,或者部分同学能确定圆心和半径,进而求出圆与y轴的交点坐标,但忽略点P在x轴下方的情形。
【快速求解】(1)线段AB=4,∠APB=30°确定时,角的顶点P在以AB为弦的
M和 M′上,其轨迹(除A、B点外)如图7所示,故符合要求的点P有无数个。
图7
(2)如图8,由圆周角定理知,AMB=2∠APB=60°,
∴△MAB为等边三角形,
∴r=MA=AB=4,M(3,23),
作MC⊥y轴,
图8
(3)过点A,B的 M与y轴相切于点P时,∠APB最大。
作MN⊥x轴,如图9,由垂径定理知NA=NB,∴点M,N的横坐标为3。
图9
∵⊙M与y轴相切,
∴r=MP=3,
在Rt△MAN中,由勾股定理得,
【解题反思】解本题若能想到“隐圆”,利用数形结合的方法,解决起来就不难了。