马芳 王鸿绪
（1、沈阳工业大学，辽宁 沈阳 110870 2、海南热带海洋学院，海南 三亚 572022）
1 概述
太阳活动对人类、其他生物都有重大影响（Zeydin，et al.2019）. Abdel-Rahman & Marzouk.（2018）应用的方法是一阶自回归模型AR（1）和改进的综合移动平均模型ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Models）。经过九十多年的发展，建立于二世纪七十年代的ARIMA 模型是应用最广泛的回归分析方法之一，可以根据该时间序列的过去及现在值来预测其未来值（Li & Liu.2019）。本文在时间序列论域J 和差值论域H 上建立分式函数Ae（m，q，s）和次逆函数与预测函数Ke（m，q，s），提出并证明收敛定理，从而建立一个预测时间序列的新模型（A new model of a prediction for a time series，NMPTS）。
新预测模型NMPTS 和智能优选不动点算法，共同组成NMPTS 的预测理论。本文的主要改进有四点：a.直接应用“时间序列的数据”建立预测公式，这是提高模型预测精度的主要原因之一；b.应用演绎法和极限理论提出新模型NMPTS；c.把基于函数论和模糊控制算法（FTFCA）叫做NMPTS 的智能优选不动点的算法；d.提出“时间序列数据的差值”的概念，使得NMPTS 的基于函数论和模糊控制的建模（The function theory and a fuzzy control based the model，FTFCM）FTFCM1D1Ke不仅能够预测时间序列J 的训练阶段和测试阶段的数据，而且能够预测时间序列J 的未来阶段的数据。
新模型NMPTS 和智能优选不动点的算法，共同组成NMPTS 的预测理论。并用它对于太阳黑子（未来阶段）201908～201912 月的数量进行预测。与现有的AR（1）模型和ARIMA 模型比较，预测精度有较大提高。
2 NMPTS 的基本理论
其中自变量m∈（0，1]，q∈（0，1]，s∈（0，1]。Ae（m，q，s）叫做时间序列J 或NMPTS 的第e 个分数函数。Ke（m，q，s）叫做时间序列J 或NMPTS 第e 个分数函数Ae（m，q，s）对应的次逆函数或预测函数、预测公式、预测模型。
定义2 设时间序列论域为J={J1，J2，…，Jn}。第e-1 个差值的计算公式为
得到差值的论域为H={H1，H2，…，Hn-1}。
定理2 设时间序列论域为J={J1，J2，…，Jn}，差值论域为H={H1，H2，…，Hn-1}。根据定理1 和定理2 能够证明：
定理3（NMPTS 的连续性定理）设时间序列论域为J={J1，J2，…，Jn}，差值论域为H={H1，H2，…，Hn-1}。则
（1）（NMPTS 的分数函数Ae（m，q，s）的连续性定理）NMPTS 的分数函数Ae（m，q，s）是（0，1]（0，1]（0，1]上的连续函数；
（2）（NMPTS 的预测函数Ke（m，q，s）的连续性定理）NMPTS 的预测函数Ke（m，q，s）是（0，1]（0，1]（0，1]上的连续函数。
定理4（NMPTS 的收敛定理）设时间序列论域为J={J1，J2，…，Jn}，差值论域为H={H1，H2，…，Hn-1}。对于任意取定的m∈（0，1]，q∈（0，1]，s∈（0，1]。固定q，当m→0，s→0 时，则：
（1）（NMPTS 的分数函数Ae（m，q，s）的收敛定理）NMPTS的分数函数Ae（m，q，s）是收敛的，并且第e 个NMPTS 的分数函数Ae（m，q，s）收敛于时间序列J 中第e 个元素的表达式q/Je（e=1，2，…，n）；
（2）（NMPTS 的预测函数Ke（m，q，s）的收敛定理）NMPTS的预测函数Ke（m，q，s）是收敛的，并且第e 个NMPTS 的预测函数Ke（m，q，s）收敛于时间序列J 中第e 个元素Je（e=1，2，…，n）。
定义4 设时间序列论域为J={J1，J2，…，Jn}，差值论域为H={H1，H2，…，Hn-1}。以任意点G（m，q，s）作为计算的起点，如果应用预测公式Ke（m，q，s）（e=1，2，…，n）预测时间序列J中的第e（e=1，2，…，n）个数据时，当所有得到的预测值Ke（m，q，s）（e=1，2，…，n）经过四舍五入的近似值等于J 中的第e（e=1，2，…，n）个数据Je时，则再多保留小数点后1～3位，此时得到的SE 和MSE 分别叫做准SE 和准MSE。并称准MSE 为不动点。此时得到的模型叫做实现NMPTS 中的建模，并记这个预测模型为基于函数论和模糊控制（FTFCM）的建模为FTFCM1D1Ke（m1，q，s1），或者NMPTS 中的建模FTFCM 11DK（em1，q，s1），或者时间序列J 中的建模FTFCM11DK（em1，q，s1）。
3 NMPTS 的智能优选不动点的算法
设时间序列论域为J={J1，J2，…，Jn}，差值论域为H={H1，H2，…，Hn-1}。
（1）在时间序列J 的训练阶段，以任意点G（m，q，s）作为计算的起点，固定q，令m=s 逐渐减少，编程，搜索，用预测公式（2）进行计算，…，预测函数值Ke（m，q，s）的收敛定理保证：一定能得到不动点准MSE≈0，实现建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）。
检验：如果在NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）中把参数m1和s1继续减少。虽然MSE 可能继续减少，不是不动的，但是每个预测值Ke经过四舍五入都能等于观测值Je却是不动的。则确认FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）是NMPTS 中的训练阶段的建模。
（2）在时间序列J 的测试阶段，应用NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）计算时间序列J 中的测试阶段的数据。用公式（3）进行计算。如果得到不动点准MSE≈0，那幺NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）为时间序列的训练阶段和测试阶段的建模；否则应用预测模型Ke（m2，q，s2）（应当m2 检验：如果在NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）中把参数m3和s3继续减少，虽然MSE 可能继续减少，不是不动的，但是每个预测值Ke经过四舍五入都能等于观测值Je却是不动的。则确认FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）是NMPTS 中的测试阶段的建模。并进一步确认FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）是NMPTS 中的训练阶段和测试阶段的建模。它是计算NMPTS中的未来阶段数据的预测模型。 （3）在时间序列J 的未来阶段，应用NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）和NMPTS 的智能搜索优选不动点算法（双样本求法），及预测公式（6）以及虚拟预测值公式（7）进行计算。 ①在预测时间序列Y={Y1，Y2，…，Yn}的未来阶段数据Hn+1时，在虚拟预测值公式 中，取σ=1，计算时间序列J 的未来阶段第n+1 个数值Jn+1的虚拟预测值K*n+1。 ②使用测试阶段得到的Kn，要把Kn也看成未来阶段的数据，并把Kn和Kn+1作为一组未来阶段的数据进行预测计算，求出未来阶段预测值Kn+1的数据。计算出Kn和Kn+1。 ③计算的过程分别定义为：启动计算（微0调计算），微调计算（微1调计算），微微调计算（微2调计算），……。对应的（微g 调计算）（g=1，2，…）的步长根据参数的大小，自行设计。例如可分别取1×10-h，为微h调计算的步长。计算的次数为第1 次计算，第2 次计算，…。计算预测值时，要用预测公式（3）进行计算。类似地可计算时间序列Y 的未来阶段的第n+2，n+3，…个数据的预测值。 ④在具体计算时，微i调计算的使用规则是： ……… 第j 轮微i调计算。第j+2 次计算。如果第j+1 次计算得知MSEj+1比第j 次计算得到的MSEj小，则继续微i调计算；如果大，出现拐点，则退回到第j 次计算，改为微i+1调计算，继续计算。 ⑤计算到（第k 轮微m调计算）第u 次计算得到的MSEu，如果与前面的（第p 轮微s调计算）第q 次计算得到的MSEq相等，则得到不动点准MSEu=MSEq，此时对应的预测值Kn+1就是本方法求出的时间序列J 的未来的第n+1 个数据的预测值。不动点准MSE 是各轮各微各次计算中最小的。 ⑥检验。如果继续进行“加轮加微加次”计算，“不动点准MSEn+1”不变，而且“预测值Kn+1”也不变。 ⑦在预测时间序J 的未来阶段数据Kn+2时，要把Kn+1看成未来阶段数据，并使用已经计算出的Kn+1的数据，把Kn+1和Kn+2作为一组未来阶段数据进行预测计算，类似于①～⑥各步骤，得到“不动点准MSEn+2”，以及“预测值Kn+2”。 类似地可计算时间序列J 的未来阶段的预测值Kn+3，Kn+4，…，各数据的预测值。 把太阳黑子201601～201712 月的数据作为训练阶段，201801～201907 月的数据作为测试阶段阶段，201908～201912 月的数据作为未来阶段，应用NMPTS 的预测理论和NMPTS 的智能优选不动点法进行预测，预测结果与各模型预测结果比较如表1 所示。 表1 各模型预测太阳黑子测试阶段和未来阶段的数据比较 表2 展示了FTFCM1D1Ke（0.0001，1，0.0001）的预测数据，约比Abdel-Rahman & Marzouk（2018）应用AR（1）&ARIMA prediction 的预测精度高4 倍以上；比Abdel-Rahman& Marzouk（2018）列举出NOAA prediction 的预测精度高4倍以上。 表2 各模型预测太阳黑子的数据的比较 提出NFMTS 的预测理论。在太阳黑子的数值试验中，相比Abdel-Rahman & Marzouk（2018）应用AR（1）& ARIMA模型以及Abdel-Rahman & Marzouk（2018）提供的NOAA使用的模型预测太阳黑子的测试阶段和未来阶段201801～201912 的月数据，NFMTS 的建模FTFCM1D1Ke（0.0001，1，0.0001）的预测精度都有较大幅度的改善。表2 显示：对于预测太阳黑子的未来阶段201908～201912 的月数据，NMPTS 的建模FTFCM1D1Ke（0.0001，1，0.0001）的预测数据也有一定的优势。所以NFMTS 的预测理论对于太阳黑子数量的时间序列，补充了一种新的预测方法；对于一般的时间序列，提供了新的预测方法。
4 数值实验-太阳黑子的预测研究
5 结论
