谢瑜 唐豪 李丹 杨方源*
（1、新疆农业大学，新疆 乌鲁木齐 830052 2、新疆水利水电学校，新疆 乌鲁木齐 830013）
新发的流行病以及传染病已经严重地危害到人类的健康和社会的经济发展。传染病发病机制、传播规律及防控策略研究日益突出。相关学者非常重视流行病致病原因的分析，为了提高应对流行病突发事件的效率，控制监管感染者以防止大规模传染，卫生部创建疫情监管机制，收集疫情相关数据，并进行动态分析，在此基础建立防治评价体系并制定防治政策，最终逐渐消灭传染病，提高人民健康水平。而关于传染病的传播不可能通过医学角度一一分析，因此，我们可以通过MATLAB 建立相关的数学模型分析传染病数据来描述这一系列传染病的传播过程，分析感染人数和死亡人数的变化，从而预测发病人数和死亡人数。
1 模型的建立与求解
1.1 模型假设
在疾病传播期间检查的地理范围没有考虑人口动态因素，例如出生、死亡和流动性，总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感人群，其人数比记为s(t)，表示在t 时刻未感染但有可能感染该病的总人数的比例；感染人数比，记为i(t)，表示在t 时刻被感染且具有传染性的人数比例；康复人数，其比例记为r(t)，表示在t 时刻从感染者身上被带走的人数（这部分人群既没有感染也没有感染，没有传染性者将没有被再次感染，他们已经退出感染系统）占总人数的比例。患者日暴露率（每名患者每日有效接触人数）为常数λ，日治愈率（每天治愈的患者占患者总数的比例）为常数μ，显然为1/μ 的平均感染持续时间和σ=λ/μ。该模型的缺陷在于结果往往与实际结果有所不同，这是因为模型中的有效曝光率被假定为恒定的。不考虑流行病感染的潜伏期.将因人口流动带来的n 城市感染者当前人数与原始人数的比值视为α，不考虑不同城市间人口流向n 城市的差异。
1.2 模型的建立
大多数传染病如天花、流感、肺炎、麻疹等，治愈后免疫力强，所以痊愈的人也就是不健康（易感染）或生病（感染），表明他们已经退出了传染病系统。在基本假设下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如图1 所示。
图1 易感染者从患病到移除的过程框图
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是S0（S0>0）,i0（i0>0），则由（1），（2）式，SIR 模型的方程可以写作
根据方程（3）无法求出s(t)和i(t)的解析解，但是可以通过数值计算来预估s(t)，i(t)的一般变化规律。
1.3 模型的求解
1.3.1 龙格- 库塔算法求i(t)
从建立的模型无法直接得到s，i，r 的解析解。但是我们可以利用龙格- 库塔算法来求得这个方程的数值解。
Runge-Kuta 算法是一类重要的用于求解非线性常微分方程的隐式或显式迭代方法。
它是一种在工程中广泛使用的高精度单步算法。其理论基础来源于泰勒公式和斜率的使用近似表达式微分，预先计算积分区间内几个点的斜率，然后进行加权平均，作为下一个一点基础，从而构建出精度更高的数值积分计算方法。
在本模型中，我们采取较为经典的四阶龙格- 库塔方法，迭代表达式如下：
首先假定了参数μ，λ 的初值，通过龙格- 库塔方法求解出i(t)的数值解为i(0)=0.379。
1.3.2 模拟退火算法求解i(t)的优化拟合函数
我们通过模型而解出的数值解后，做出i(t)的图象。对比i(t)图象与数据，很明显地发现在实际情况和理想的函数之间存在着一定的差异，这是因为参数不合理估计引起的，我们要做的是通过不断调整最初非计算得到的参数（μ，λ）来使
首先，我们利用先用蒙特卡洛算法迭代几次全局去找最优的区域，得到λ∈(0.72,1.31) μ∈(0.14,0.52)，以此来尽量降低产生局部最优解的概率。得到最优区域后，我们利用matlab 中的fminsearch 函数进行迭代来求解，模拟退火得到总残差最小也即代价最小的新参数解，λ=0.71, μ=0.2，这时，实际图象和理论图象有最好的贴合，如图2 所示。
图2 发病人数拟合函数图像
1.3.3 灰色预测算法求解死亡率与死亡人数
对于死亡率以及死亡人数的预测，我们使用灰色预测算法进行求解。灰色预测模型所需的建模信息较少、运算较为方便、建模精度更高，所以在很多的预测领域都有着广泛的应用，也是我们在处理小样本预测问题上的有效工具。
对原始数据x（0）作一次累加，得到新的序列x（1），并构造数据矩阵B 及数据向量Y，有
便可以得到如图3 所示的死亡预测统计图。
图3 2004-2019 死亡率统计预测图
如图所示，我们采取灰色模型GM（1，1），利用最小二乘法可以求出2020 年的死亡率约为0.338%，同时预测出2020年的死亡人数约为2346。
在求解死亡率中，我们假定我国人口总量保持相对不变，以此得出了该传染病的SIR 模型，我们希望通过改变中国人口相对于2004 年人口数的比例，分析该模型对于人口发生相对变化的灵敏度。
我们设每年中国人口增长率为v，则有如下关系：
我们通过改变中国人口增长率，使其趋近于真实的人口增长变化，得到新的SIR 曲线，通过计算，在相同时间下感染率变化不超过1.3%，感染率变化对于人口波动的灵敏度较低，系统结果稳定。该模型的优点在于，对求解死亡率建立了SIR 模型，通过带入数据拟合出最贴合的函数，准确度较高，并且通过模型的构建作为铺垫为求解结果搭建了良好的平台，具有一定的实用性.同时该模型还存在一定的缺点，本文建立的SIR 模型未能考虑出生率和死亡率的共同作用，将人口总数是为定值，可能会产生误差，所以减小误差，我们可以将SIR 模型进一步拓展，引入感染人群的死亡率为d，变为SIRD 模型，则死亡率与时间t 的关系可以表示为
其过程框图可以表示为如图4 所示。
图4 DSIR 模型示意图
拓展后的DSIR 模型对死亡人数、死亡率的分析和推测将更加精确。但是对于新冠病毒这种感染具有较长潜伏期，且症状可能与其他常见流行病类似的传染病，实际模拟过程中则需要考虑更多的相关因素。
2 结论
本文通过统计并分析2004-2016 年的一系列流行病学变化趋势，并预测2020 年全国感染该疾病的发病人数和死亡人数，我们可以得出在2004 年至2006 年间处于发病和死亡的波动时期，从2006 年开始，全国发病人数和死亡人数总体处于下降趋势，但是仍处于相对较高水平，面对突发性传染病的袭击，根据对隔离参数和采取强制控制时间的要求，面对突如其来的传染病，我们应该以预防为主、防治结合、早点发现、早点隔离。对患者和疑似患者实施第一时间隔离，第一时间治疗，防患于未然，是我国卫生工作的重要方针，我国政府应加大力度，构筑医疗卫生体系，以数学模型为理论指导，建立传染病预警机制，这对以各种传染性疾病的控制具有十分重要的意义。
