李鑫++何烨++赵巍

摘 要：本文通过对由径向横观各向同性不可压缩的Varga材料组成的圆柱管在翻转后的有限变形问题的研究，证明径向横观各向异性参数对翻转后圆柱管的轴向伸长率以及内半径有本质上的影响，特别是对轴向伸长率的影响；而初始厚度对翻转后圆柱管的轴向伸长率以及内半径没有本质上的影响。

关键词：轴向伸长率；横观各向同性；超弹性材料；圆柱管；翻转

中图分类号：O175.8 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）20-0209-01

当代社会，材料科学已经成为当代科学技术的重要支柱。随着科学技术的不断创新，材料领域不断扩展，逐渐形成了金属材料、无机材料、高分子材料、复合材料等多角共存的新局面。而以橡胶、类橡胶、生物软组织等为代表的超弹性材料以其特有的优势和特点在材料领域也占有了自己的一席之地。所谓超弹性材料，从力学性能上讲，是指能够完全确定其应力和应变关系的应变能函数的弹性体，由应变能函数也可以完全给出它们的本构关系。本论文的目的是研究力学背景下，一类超弹性可压缩材料组成的结构体的有限变形问题，首先将问题的数学模型归结为二阶非线性常微分方程和相应的边界条件。然后推导出一个复杂的二元非线性方程组，通过数学软件求得该方程组的解析解，最后通过作图分析各类数值对翻转问题的影响。

1 数学模型及求解

假设不可压缩超弹性材料构成的圆柱管变形前的构形为，，圆柱管翻转变形后的构形为.由于变形是径向对称的，在径向对称变形的假设下，圆柱管翻转变形后构形的平衡微分方程可化为 （1）

因为圆柱管翻转变形后的内、外表面是无约束的，所以有下面的边界条件：

（2）

根据文献[1]，即假设在端部给定合力，可以得到近似平均的端部条件： （3）

通过积分计算，再根据得到

（4）

不可压缩超弹性材料的本构关系由其应变能函数

（5）

来描述。

1995年，首次提出了径向横观各向同性不可压缩的修正Varga材料，应变能函数的形式为

（6）

式中：是材料的无穷小剪切模量；和是量纲为一的材料参数，且。

根据应变能函数形式（5），得到：

（7）

继而得到：

（8）

引入如下无量纲的记号：

，，，

从而得到 （9）

（10）

（11）

（12）

将方程（7）、（8）无量纲化并进行简化，最后得到方程：

（13）

易见，对于给定的结构参数和材料参数β，式（12）和（13）是关于和的非线性方程组，由此可以求得圆柱薄壁管翻转后的轴向伸长率和内外半径。

2 数值算例

（1）图1对给定的初始厚度，参数存在一个临界值，记为，当时，轴向伸长率随增加而增加、且在越大越小时，的增长率越大；当时，轴向伸长率随增加而减少。且当时，随的变化会出现一个骤增，这个骤增当时更明显。（2）图2对给定的初始厚度，参数存在一个临界值，记为，当时，翻转后的圆柱管的内半径随增加而减少；当时，翻转后的圆柱管的内半径随增加而增加。且当，时，随着的变化会出现一个骤降，这个骤降当越大时越明显。

3 结语

论文研究了由横观各向同性Varga材料组成的圆柱管的翻转问题，得到了描述翻转后圆柱管的轴向伸长率和内半径满足的非线性方程组。通过该非线性方程组，进行数值算例，我们可以得到该结论：翻转后圆柱管的轴向伸长率和内半径与初始厚度无本质联系；而径向各向异性参数对内半径与轴向伸长率会有本质上的影响，特别是在轴向伸长方面。

参考文献

[1]Hart 2 Smith L J. Elasticity parameters for finite deformations of rubber 2 like materials[J]. Z Angew Math Phys ，1966，17：608.

[2]袁学刚，张若京.不可压超弹性材料中微孔增长的定性分析[J].同济大学学报：自然科学版，2005，33（12）：1660.