摘 要：三重积分是多变量微积分学的重要内容之一，主要用于计算空间物体的质量、物体对坐标轴的转动惯量、物体间的引力等实际问题。一直以来，三重积分的计算都是高等数学的难点，主要问题在于求解方法的选择和积分区间的确定。本文以一道高等数学课后习题为例，探究三重积分的不同计算方法，总结不同方法的适用条件。
关键词：三重积分；柱面坐标；球面坐标；高斯公式；轮换对称性
小结
本文从一道课后习题出发，探究了计算三重积分的四种方法。从四种方法的计算过程可以看出，虽然此题目四种方法都可使用求解，但是部分方法使用起来计算量较大，并不是求解此问题的最佳方法。因此有些方法只有在特定情形下使用，计算起来才比较方便。并且对称性和轮换对称性的使用经常可以简化三重积分的计算。本节主要总结四种三重积分计算方法的特点，并给出各种方法适用的问题类型。
第一是投影法。投影法只对积分区域有要求，即积分区域满足平行于坐标轴且穿过积分区域Ω内部的直线与积分区域Ω的边界曲面S最多只有两个交点都可以使用。由于投影法对被积函数没有限制，对积分区域要求较少，因此：（1）大部分题目都可以采用投影法；（2）当被积函数没有特殊性，积分区域除了满足投影法要求以外并不满足其他方法条件时，应使用投影法。但是更少的限制意味着更复杂的计算量，故投影法使用的难点主要在计算。
第二是截面法。截面法是将积分区域看成是若干用与坐标面平行的平面切成的片状区域的累加，但一般情况下直接使用截面法计算量较大。因此主要使用简化的截面法求解问题，以下情况考虑使用截面法：（1）当被积函数是单变量函数，并且截面区域面积容易计算，即积分区域是由柱面、球面、椭球面、椭圆锥面、椭圆抛物面所围成的闭区域，或者其中几种曲面围成的闭区域；（2）积分区域具有对称性或轮换对称性，即为旋转椭球面、柱面或球面所围成的闭区域，被积函数可以通过积分区域的对称性或轮换对称性化解成单变量函数。
第四是球面坐标法。球面坐标法需要将积分区域放在球面坐标下考虑，根据球面坐标的特点，以下情况考虑使用球面坐标法：被积函数是f（x2+y2+z2）的形式，积分区域是球域或者球域的一部分。
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作者简介：江婧（1995— ），女，汉族，四川眉山人，硕士，助教，中国民用航空飞行学院教师，研究方向：最优化理论与算法、凸分析。
