陈慧颖
中考数学中分类讨论思想例析
陈慧颖
分类思想是化整为零、分别对待、各个击破的一种思维策略，是数学学习的重要思想方法.运用的关键在于正确地进行分类，即选择一个分类标准，对所讨论的对象进行全面分类，确保分类的科学——既不重复，也不遗漏.运用分类讨论，可以把一个复杂问题拆分成若干个简单问题，有利于培养同学们思维的条理性、缜密性、科学性.现以2015年中考试题为例加以归类说明.
一、方程中的分类讨论
例1（2015·台州）关于x的方程mx2+ x-m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是_______.（填序号）
解：①当m=0时，方程为x+1=0，解之得x=-1，故方程只有一个实数解.
②当m≠0时，Δ=12-4m（-m+1）=（2m-1）2，
③由①知，当m=0时，方程的解为x=-1，
当m≠0时，
∵mx2+x-m+1=（mx+1-m）（x+1），
∴方程mx2+x-m+1=0的解为：
x1=-1，x2=
∴无论m取何值，方程都有一个负数解x=-1.
综上所述，正确的结论是①③.
【点评】对于含字母系数的方程，如果没有明确说明是一元二次方程还是一元一次方程，要分方程是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论.所以，对于含有字母系数的方程问题，要根据字母系数的不同取值范围进行讨论.
二、函数中的分类讨论
例2（2015·黄石）一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表.现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需最少费用为_______元.
解：设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，
①当0≤x＜3时，
∵k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元；
②当x≥3时，
∵k=1＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y有最小值，最小值为29元.
综合①②可得，购买盒子需要的最少费用为29元.
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出函数解析式，利用一次函数的性质解决最小值的问题.由于没有明确购买盒子的个数情况，所以要分0≤x＜3和x≥3两种情况分类讨论，然后再取舍.
三、等腰三角形中的分类讨论
例3（2015·西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是______.
解：此题要分情况讨论：
①当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，
所以根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；
②当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，顶角是90°-20°=70°.
故答案为：110°或70°.
【点评】由于没有明确说明三角形是锐角三角形还是钝角三角形，所以要分两种情况讨论.如果原三角形是钝角三角形，则高在三角形外；若原三角形是锐角三角形，则高在三角形内.若等腰三角形已知的边没有明确是底边还是腰，或者已知的角没有明确是底角还是顶角，都要分情况讨论.同时要考虑三边的长是否满足三角形的三边关系，即对解的情况要进行检验，以保证最后的解正确无误，防止犯“顾此失彼”的错误.
四、直角三角形中的分类讨论
例4（2015·南昌）如图1，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______.
图1
图2
解：分三种情况讨论：
①如图2，点P在三角形内且∠APB=90°，
∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO=BO=2，
又∵∠AOC=60°，∴△APO是等边三角形，
∴AP=2；
图3
图4
②如图3，点P在三角形外且∠APB=90°，
∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2，
又∵∠AOC=60°，∴∠BAP=30°，
③如图4，点P在三角形外且∠ABP=90°，
∵BO=AO=2，∠BOP=∠AOC=60°，
【点评】在Rt△PAB中，由于∠PAB不可能是直角，而在∠PBA与∠APB中没有明确哪个角是直角，所以要根据∠PBA=90°和∠APB=90°两种情况讨论.对于∠APB=90°，动点P可能在△ABC的外部，也可能在△ABC的内部，所以还要对动点P的位置进行分类讨论.
五、平行四边形中的分类讨论
例5（2015·绥化）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为________.
解：①点A落在矩形对角线BD上，如图5，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，
根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，
设AP=x，则BP=4-x，
∵BP2=BA′2+PA′2，
∴（4-x）2=22+x2，解得
图5
图6
②点A落在矩形对角线AC上，如图6，根据折叠的性质可知DP⊥AC，
【点评】由于没有明确点A落在矩形的哪条对角线上，所以要分点A落在矩形对角线BD上和点A落在矩形对角线AC上两种情况讨论.当点A′在BD上时，需构造直角三角形，利用勾股定理解决，当点A′在AC上时，需构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决.以对角线为依据来确定点的位置是解决平行四边形问题最常用的方法.
六、圆中的分类讨论
例6（2015·梅州）如图7，直线l经过点A（4，0），B（0，3）.
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标.
图7
解：（1）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），
设直线l的解析式为：y=kx+b，代入函数解析式得：
（2）∵OA=4，OB=3，∴AB=5.
①如图7，⊙M与直线l相切，切点为N，点N在点B的上方，连接MN，则MN⊥AB，
∴OM=OB+BM=5.5，
∴点M的坐标为（0，5.5）.
②⊙M与直线l相切，切点为N′，点N′在点B的下方，连接MN′，则MN′⊥AB，
∴∠MN′B=90°，
同理可得BM=2.5，∴OM=OB-BM=0.5，
∴点M的坐标为（0，0.5）.
综上可得：当⊙M与此直线l相切时点M的坐标是（0，0.5）或（0，5.5）.
【点评】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在没有明确图形位置的情况下，符合题意的图形可能有多种，因此应注意圆的问题的多样性，不要忘记分情况讨论.直线与圆相切，圆可能在直线上方，也可能在直线下方，所以本题应分两种情况讨论.
七、运动图形中的分类讨论
例7（2015·葫芦岛）如图8，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图像是（）.
图8
故选A.
【点评】对动态几何的分析必须找准变化过程的分界点，逐段讨论.在动中求静，以静制动，正确确定分类对象，进行合理分类是解决这类问题的关键.
所以，周密思考，运用分类思想，以防止漏解是十分必要的.对于分类讨论解决问题的方法，要弄清为什么要分类和怎样分类这两个关键问题.只有抓住分类的动因，把握分类的标准，才能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复和遗漏，保证解题正确无误.
（作者单位：江苏省丰县初级中学）
