文罗 尉
（作者单位：江苏省淮阴中学教育集团清河开明中学）
圆，是对称图形，也是几何中非常完美的图形。圆的知识点较多，很多同学学习起来较为吃力。下文将对与圆相关的典型题型进行归纳和总结，以期对同学们有一定的启迪。
一、求圆相关角的度数
例1 （2019·滨州）如图1，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为_____。
图1
【分析】本题解法多样：①连接OD，借助∠BCD求出∠BOD的度数，再利用等腰△BOD求出∠ABD的度数；②连接AC，根据“直径对直角”可知∠ACB=90°，借助∠ACD求出∠ABD的度数。
解法一：连接OD。
∵∠BCD=40°，
∴∠BOD=80°，
又∵BO=DO，
∴∠ABD=∠ODB=50°。
解法二：连接AC。
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BCD=40°，
∴∠ACD=50°，
∴∠ABD=∠ACD=50°。
【点评】在圆中，见圆周角连半径，构造同弧所对的圆心角；见直径连弦，得“直径对直角”。这些都是解决角度数问题的常见辅助线。
二、求圆相关线段的长度
例2 （2018·孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm。
【分析】求两弦之间的距离，必须先确定它们的位置：如图2，弦AB和CD在圆心同侧；如图3，弦AB和CD在圆心异侧。因此本题需分情况考虑。
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2。
图2
连接OA、OC，作OE⊥AB并延长交CD于F。
∵OE⊥AB，AB∥CD，∴OF⊥CD。
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm。
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图3，连接OA、OC，作OE⊥AB并反向延长CD于F。
∵OE⊥AB，AB∥CD，
∴OF⊥CD。
图3
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OE=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm。
∴AB与CD之间的距离为2cm或14cm。
故答案为：2或14。
【点评】在圆内，求相关线段长度时，常会连半径，过圆心作弦的垂线段，构造由“半弦、半径、弦心距”组成的直角三角形（简称“铁三角”），并借助勾股定理求解。
三、直线与圆特殊位置关系的判定
例3 （2019·泰州改编）如图4，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E。判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由。
图4
【分析】直线DE上已有一点D在圆上，连接OD，只需要判断半径OD是否垂直于直线DE，即可判断DE与⊙O的位置关系。
解：DE与⊙O相切，理由如下。
如图4，连接OD。
∵AC是直径，D为弧AC的中点，
∴∠DOA=∠DOC=90°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE=∠DOA=90°，
即OD⊥DE，且垂足为D，
∴DE与⊙O相切。
【点评】在证明直线是圆的切线问题中，如果直线与圆有公共点，那么可以连接圆心与公共点，证明这条半径垂直于该直线即可，可概括为：“见切点，连半径，证垂直。”
四、与圆有关的弧长或面积问题
例4 （2018·盐城）如图5，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分。右图中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°。则右图的周长为 _____cm（结果保留π）。
图5
【分析】比较左右图，可知：
【点评】本题运用了转化思想。求弧长的问题，只要能确定对应的圆心角度数和半径即可。
五、构造辅助圆
例5 如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______。
图6
【分析】求点P到边AB距离的最小值，那么需要清楚点P的轨迹。由翻折得，点P到点F的距离是定长2，可得点P的轨迹是以F为圆心，以2为半径的圆的部分。
解：如图7，以点F为圆心、2为半径作圆，过点F作FH⊥AB。
图7
∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
【点评】在最值问题中，经常需要确定动点的轨迹，圆也是常见的轨迹之一。通常构造辅助圆的情况有：①动点到定点的距离等于定长；②定线段所对的角为定角等。
