文黄海涛
（作者单位：江苏省无锡市滨湖中学）
直线与圆的位置关系共有三种：相离、相切、相交，其中相切作为一种最特殊的位置关系，是本章研究的重点，往往也是考查的重点和难点。在解决一些与圆有关的相切问题时，常用的知识有切线的性质及其判定定理，但通常都需要添加辅助线，把切点和圆心连接起来，构造半径，我们称之为“见切点，连半径”。
一、“连半径”，解决与切线有关的计算问题
例1 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E。若AD=8，DE=5，求BC的长。
图1
【分析】由DE为⊙O的切线，容易想到连接半径OD，如图2，得到∠ODE=90°。利用同角的余角相等，可得∠ADE=∠A，进而推出AE=DE，考虑条件∠C=90°，比较容易看出C为⊙O的切点，得到CE=DE。此时结合条件，边长AD、AC都可以确定，进一步考虑连接DC构造直角三角形ADC，求出CD，继而在直角三角形BDC、ABC中利用方程解决问题。
图2
【简解】如图2，连接OD，证明∠A+∠B=90°，由△BDO为等腰三角形推出∠ADE+∠B=90°，得到结论∠ADE=∠A，进而得到结论AE=DE。连接DC，由∠C=90°，可证明EC为⊙O的切线，得结论CE=DE。结合条件数值求得AC=2DE=10，由BC为直径，得在直角三角形ADC中，DC=6，设BD=x，在直角三角形BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=（x+8）2-102，可得 x2+62=（x+8）2-102，解方程 x=由勾股定理得BC
【归纳】本题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识。解题的关键是连接半径，得到垂直的同时还构造出了等腰三角形，进而得出角相等、线段相等，这才有了后面一系列的转化。因此与切线有关的计算问题，“连半径”往往是解决问题的起点与关键，也是解决后续问题的基础，要把连接半径后的结论细细梳理。
二、“连半径”，解决与切线有关的证明问题
例2 （2019·滨州）如图3，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2=4CF·AC。
图3
【分析】（1）证明DF是⊙O的切线，题目信息中已明确D为圆上的点，连半径，证垂直即可；
（2）由结论BC2=4CF·AC可知，本题的落脚点应该放在三角形相似上，关键是对数字“4”如何处理？考虑到前面的平方，联想到BC与DC有两倍关系，连接AD，证明△CFD∽△CDA，尝试推导结论得证。
【简解】（1）如图4所示，连接OD，由AB=AC，得出∠ABC=∠C，而OB=OD，得出∠ODB=∠ABC=∠C，因为DF⊥AC，所以∠CDF+∠C=90°，进而得到∠CDF+∠ODB=90°，∠ODF=90°，得出结论——直线DF是⊙O的切线；
图4
（2）连接AD，则AD⊥BC，由AB=AC，
【归纳】在证明圆的切线时，把该直线与圆的交点和圆心连接起来，证明半径垂直于该直线即可，我们称之为“连半径、证垂直”；反之，当已知切线时，把切点和圆心连接起来，可以得到半径与切线垂直。
