文封霞霖

（作者单位：江南大学附属实验中学）

直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，其中相切是中考的高频考点。我们对直线与圆的位置关系的研究，反映了图形的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系：由图形的位置关系决定数量关系，由数量关系判定图形的位置关系。这里的数形结合，既是重要的知识内容，又是重要的思想方法。

一、切线与函数

例1 （2019·菏泽）如图1，直线y=-3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是____。

图1

【分析】考点：一次函数、切线性质。对于运动问题，要考虑多解。对圆心位置分类讨论，圆心在A点左侧和右侧，直线都会与圆相切。根据相切时圆心到直线的距离等于半径，结合相似或者三角函数，找到圆心P的位置。

解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，

∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，

∴A（-4，0），B（0，-3），

∴OA=4，OB=3，∴AB=5。

设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，如图2，P在A点左侧时为P1，在A点右侧时为P2。

图2

则PD⊥AB，PD=1，

∵∠ADP=∠AOB=90°，

∠PAD=∠BAO，

∴△APD∽△ABO，

∴OP=OA+AP或OA-AP，

【点评】这道题目中有圆，但要做到心中无圆。如果抓住切线的本质，⊙P1和⊙P2不画出来亦可。我们要抓住的关键是直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。另外，利用相似求AP的这部分，用三角函数也可以解决。

二、切线与角度

例2 （2019·天津）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，∠APB=80°，C为⊙O上一点。

图3

（Ⅰ）如图3-①，求∠ACB的大小；

（Ⅱ）如图3-②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB=AD，求∠EAC的大小。

【分析】考点：切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质。掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键。（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形内角和等于360°计算；（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可。

解：（Ⅰ）如图4，连接OA，OB。

图4

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

即∠OAP=∠OBP=90°。

∵∠APB=80°，

∴在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°。

∴∠ACB=50°。

（Ⅱ）如图5，连接CE。

图5

∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE=90°。由（Ⅰ）知，∠ACB=50°，

∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°，

∴∠BAE=∠BCE=40°。

∵在△ABD中，AB=AD，

又∠ADB是△ADC的一个外角，有∠EAC=∠ADB-∠ACB，

∴∠EAC=20°。

【点评】在圆中求角度，通常考虑“由角找弧，再由弧找角”，熟练地转化圆周角和圆心角。在第（Ⅱ）题中，求∠BAE的度数，也可以连接OB，利用等腰三角形的性质求解。

三、切线与特殊三角形

例3 （2019·盐城）如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E。

图6

（2）求证：NE与⊙O相切。

【分析】考点：切线、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形“三线合一”、中位线性质。本题需要添加辅助线，构造过切点的半径和直径所对的圆周角。

（1）解：连接ON、DN，

图7

∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，∴BC=8。

∵CD为直径，∴∠CND=90°。

∵在△BCD中，

BD=CD，∠CND=90°，

（2）证明：∵O，N为CD，BC的中点，

∴ON∥BD，∴∠ONE+∠DEN=180°，

∵∠DEN=90°，

∴∠ONE=90°，即ON⊥NE，

又∵ON为半径，

∴NE与⊙O相切。

【点评】本题以圆的切线为主线，综合考查了特殊三角形的性质。三角形是几何的根本，特殊三角形的性质也是中考必考知识点。

四、切线与三角函数

例4 （2019·济宁）如图8，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⁀的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE=2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F。

图8

（1）求证：AE是⊙O的切线；

【分析】（1）根据“三线合一”得到OE⊥AC，求得∠AFE=90°，再转化为∠EAO=90°；

（2）根据等弧对等角、相等的角三角函数相等，将已知条件一步步转化为结论。

（1）证明：连接OC，如图9。

图9

∴∠AOD=∠COD，

又∵OA=OC，

∴OE⊥AC，

∴∠AFE=90°，

∴∠E+∠EAF=90°，

∵∠AOE=2∠ACD，∠CAE=2∠ACD，

∴∠CAE=∠AOE，

∴∠E+∠AOE=90°，

∴∠EAO=90°，

又∵OA为半径，

∴AE是⊙O的切线。

（2）解：连接AD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°。

∴∠DAH=∠ACD，

∴在Rt△ADH中，

∵DH=9，∴AD=12。

∵∠B=∠ACD，

∴BD=16，

∴在Rt△ADB中，AB=20。

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理，转化思想是解题的关键。