文陈晓丽
（作者单位：江南大学附属实验中学）
各地中考中关于圆的考查，一般是围绕圆的基本概念与性质、与圆有关的角、直线与圆的位置关系、扇形及圆锥的相关问题，常以计算或证明形式出现。下面结合2019年一些中考题来看一看。
考点一：与圆相关的推理
例1 （2019·安徽）如图1，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 ____。
图1
图2
【分析】连接OA、OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长。
解：连接OA、OC，如图2，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，
【点评】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键。
例2 （2019·嘉兴）如图3，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ___ 。
图3
图4
【分析】连接OD，如图4，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出CD即可。
解：连接OD，如图4，
∵CD⊥OC，∴∠OCD=90°，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而只有当OC⊥AB时，OC最小，
【点评】本题考查了垂线段最短、勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键。
考点二：与圆相关的计算
例3 （2019·宁波）如图5，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）。
图5
A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm
【分析】先设AB=x，根据扇形的弧长计算公式算出弧AF的长，根据该弧长等于直径为（6-x）的圆的周长，列出方程，求解即可。
解：设AB=x，由题意，
故答案为：B。
【点评】对于圆锥问题，首先要理解侧面展开的扇形弧长等于底面圆周长，然后利用公式进行计算。
例4 （2019·四川南充改编）如图6，在半径为6的⊙O中，点A、B、C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 。
图6
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，利用扇形的面积公式即可得到结论。
“不过，这些玉器受老人的福泽，日久通灵，已然有了神性。本应散在宅院各处，结果又被放在一起，灵性相互冲突，生了异变。好在被封在箱子里，多年来也相安无事。结果坏就坏在这个小伙子身上了，半年前他也不知道为什么打开了箱子的封条，才引出他们一村的骚动。这些玉器只想着护主，不知不觉夺了旁人的福气。”
图7
解：连接OB，如图7，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC∥AB，∴S△AOB=S△ABC，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据平行四边形的性质，将△ABC的面积转化为△AOB的面积，从而将不规则图形（阴影部分）的面积转化为规则图形（扇形AOB）的面积。掌握扇形的面积公式是解题的关键。
考点三：圆的综合运用
例5 （2019·衢州）如图8，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E。
图8
（1）求证：DE是⊙O的切线。
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B，由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°，等量代换得∠2+∠1=90°，由平角定义得∠ODE=90°，从而可得证。
（2）连接AD，由圆周角定理得∠ADC=90°，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°，在Rt△DEB中，由直角三角形性质得BD=CD=2 3，在Rt△ADC中，由直角三角形性质得OA=OC=2，再由弧长公式计算即可求得答案。
（1）证明：如图9，连接OD。
图9
∵OC=OD，AB=AC，
∴∠1=∠C，∠C=∠B，∴∠1=∠B，
∵DE⊥AB，∴∠2+∠B=90°，
∴∠2+∠1=90°，∴∠ODE=90°，
∴DE为⊙O的切线。
（2）解：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°。
∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，BD=CD，
∴∠AOD=60°。
【点评】本题考查了切线的判定，有两种方法：①过半径外端，且垂直于半径；②圆心到直线的距离等于半径。问题（1）用的就是第①种方法。问题（2）中要求弧长，须知弧所对圆心角和所在圆的半径这两个条件，证得∠AOD=60°是解题的关键。
